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| Aufgabe | 1) Bestimmen Sie alle transitiven Operationen der A4.
2) Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe S5 transitiv auf 6 Punkten operieren kann.
3) Zeigen Sie, dass 97343 keine Primzahl ist(natürlich, ohne die Zahl zu faktorisieren) |
1) Bei der ersten Aufgabe habe ich überhaupt den Sinn nicht verstanden. Der Begrif einer Gruppenoperation beinhaltet eine Gruppe und eine Menge, auf der diese Gruppe operiert. Jetzt ist die Frage - Ist jetzt die A4 die operierende Gruppe?! Was ist dann die Menge, auf der diese Operieren soll?!
Und was bedeutet dann die Frage nach den transitiven Operationen. Dann ist doch die A4 - die Operation auf dieser unbekannten Menge. Also, für mich ist die komplette Aufgabenstellung nicht so ganz klar.
2) Naja, wieder mangelhaftes Verstehen der Aufgabenstellung von meiner Seite, oder die Aufgabenstellung ist schlecht... Wie kann eine Gruppe S5 die 5 Elemente permutiert auf 6 Punkten transitiv operieren?!
Die einzige Vermutung, die ich habe ist eine Untergruppe von S6 zu finden, die auf 6 Punkten transitiv operiert und gleichzeitig zu S5 isomorph ist. Wäre das der richtige Ansatz?!
3) ganz ehrlich - keine Ahnung... Wie kann man denn bestimmen, ob eine Zahl Primzahl ist oder nicht, ohne sie zu faktoriesieren?! Angeblich gibt's dazu einen Satz, der mir nicht bekannt ist!((
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:50 Fr 21.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> 1) Bestimmen Sie alle transitiven Operationen der A4.
>
> 2) Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe S5 transitiv
> auf 6 Punkten operieren kann.
>
> 3) Zeigen Sie, dass 97343 keine Primzahl ist(natürlich,
> ohne die Zahl zu faktorisieren)
> 1) Bei der ersten Aufgabe habe ich überhaupt den Sinn
> nicht verstanden. Der Begrif einer Gruppenoperation
> beinhaltet eine Gruppe und eine Menge, auf der diese Gruppe
> operiert. Jetzt ist die Frage - Ist jetzt die A4 die
> operierende Gruppe?! Was ist dann die Menge, auf der diese
> Operieren soll?!
Ohne weitere Erklärung würde man da wohl die/eine 4elementige Menge nehmen. Aber die Aufgabe verstehe ich trotzdem nicht, eine einzelne Operation ist doch nie transitiv (außer bei 1elementigen Mengen).
> Und was bedeutet dann die Frage nach den transitiven
> Operationen. Dann ist doch die A4 - die Operation auf
> dieser unbekannten Menge. Also, für mich ist die komplette
> Aufgabenstellung nicht so ganz klar.
Seh ich auch so.
> 2) Naja, wieder mangelhaftes Verstehen der Aufgabenstellung
> von meiner Seite, oder die Aufgabenstellung ist schlecht...
> Wie kann eine Gruppe S5 die 5 Elemente permutiert auf 6
> Punkten transitiv operieren?!
>
> Die einzige Vermutung, die ich habe ist eine Untergruppe
> von S6 zu finden, die auf 6 Punkten transitiv operiert und
> gleichzeitig zu S5 isomorph ist. Wäre das der richtige
> Ansatz?!
Mein spontaner Anlauf wäre, in S5 eine Untergruppe mit 20 Elementen zu finden und dann S5 auf den Restklassen (das wären dann die Punkte) operieren zu lassen.
> 3) ganz ehrlich - keine Ahnung... Wie kann man denn
> bestimmen, ob eine Zahl Primzahl ist oder nicht, ohne sie
> zu faktoriesieren?! Angeblich gibt's dazu einen Satz, der
> mir nicht bekannt ist!((
Die Lösung soll vermutlich mit den obigen Teilaufgaben zusammenhängen, aber wie? Auf jeden Fall interessant ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Sie meinen bei der 2ten Aufgabe U [mm] \le S_{5} [/mm] |U| = 20
dann partitionieren wir die [mm] S_{5} [/mm] in 6 Restklassen, die man als Punkte nimmt.
z.B. [mm] a_{1}U, a_{2}U, a_{3}U,...
[/mm]
Und dann zeigen wir, dass durch Operationen von [mm] S_{5} [/mm] können wir von [mm] a_{i}U [/mm] zu [mm] a_{j}U [/mm] kommen für i [mm] \not= [/mm] j ?! D.h. dann [mm] ga_{1}U [/mm] = [mm] a_{2}U [/mm] g [mm] \in S_{5} [/mm] usw. oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:03 Fr 21.11.2008 | | Autor: | reverend |
Der einzige Satz, der mir da gerade einfällt, ist der ![[]](/images/popup.gif) "kleine Fermat".
Wenn man eine unhandliche Zahl (wie 97343) mit diesem Instrument untersuchen will, hilft es oft, sie durch Darstellung in einem anderen Zahlensystem in handhabbarere Pakete zu zerlegen.
Hier sind zwei Umrechnungen, die so aussehen, als könnten sie weiterhelfen:
[mm] 97343_{\blue{10}}=10111110000111111_{\blue{2}}=11103333_{\blue{5}}
[/mm]
Eine Verbindung zu den beiden anderen Aufgaben sehe ich da aber auch kaum, obwohl natürlich Restklassenbetrachtungen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Fr 21.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Die letzte Aufgabe hat womöglich keinen Bezug zu den früheren Aufgaben, außerdem steht sie auf dem Blatt vor den anderen zwei Aufgaben... Ich habe sie nicht in der richtigen Reihenfolge aufgelistet...
Ich habe in ICQ mit einem Bekannten vom Studium geredet, er wusste auch nicht genau, aber er hat mir eben von diesem einen Satz erzählt :
"es gibt nen satz der sagt wenn du ein element aus einer zyklischen guppe nimmst also sagen wir x...und n ist diese zahl
dann muss x^(n-1) / n =1 sein das es eine primzahl ist oder so ähnlich"
"ach ne es war glaub ich x^(n+1) mod n"
das waren seine 2 Kommentare in ICQ... kennt da jemand einen Satz dazu?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Fr 21.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, den Satz, den ich schon angegeben habe (siehe mein letzter Post).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:48 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Aber der Satz sagt doch nur a^|G| = e, oder hab ich da was falsch verstanden?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:32 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, ich denke, das hast Du falsch verstanden.
Lies den Satz und die Erläuterungen dazu nochmal gründlich. Du kannst durch einen Potenztest sofort zeigen, ob Deine Zahl prim ist oder nicht. Nur ist das Potenzieren mühsam, wenn die Zahl so groß ist. Da aber eine Restklassenbetrachtung genügt, kannst Du Dir viel Arbeit sparen, wenn Du die Zahl geeignet zerlegst - ohne sie zu faktorisieren! Hierzu habe ich Dir einen ersten Hinweis gegeben. Du kannst auch anders vorgehen, aber dann zeig mal, bis wohin Du kommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
ja, ich habe es letztendlich nachvollziehen können... auch die Anwendeung des allgemeinen Satzes auf die Restklassen, was eben den Lehrsatz für Zahlentheorie ergibt... ja, es ist bisschen umstendlich eine Zahl aus der Gruppe mit 97342 zu potenzieren... Ja, ich verstehe, dass es reicht, nur die Restklassen zu betrachten und dabei einfach die Itaration des gewählten Elements durch alle Elemente zu schaen. Aber die Zerlegung von der sie sprachen, habe ich nicht verstanden!(((
Könnten Sie das nochmals erläutern?! Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
Naja, man will ja nicht wirklich die 97343-te Potenz ausrechnen, weder "zu Fuß" noch mit dem Rechner. Es würde ja auch kaum Sinn machen, das zu tun, ohne nach spätestens ein paar Schritten wieder durch eine Restklassenbetrachtung die Zahl entsprechend zu verkleinern. Die ermittelte Potenz wäre einfach zu groß, zu unhandlich. Es ist ja [mm] 2^{97343}>10^{29303}, [/mm] wie Du über eine einfache Logarithmenrechnung abschätzen kannst.
Daher ist es gut, eine handhabbare Form der Zahl zu finden. Ohne Mühe geht das z.B. einfach, indem man sich an der Binärdarstellung etlanghangelt. Das sind hier nicht mehr die 97343 Schritte des einfachen Potenzierens, sondern nur [mm] [log_2{97343}]+1=17. [/mm] Das ist hier zwar der kürzeste Weg, ich will's Dir aber trotzdem anders vorrechnen. Wie schon gepostet, ist [mm] 97343_{10}=11103333_5.
[/mm]
Die Ziffernrepetitionen weisen einen leichten Weg der Berechnung. Dabei ist es gut zu wissen, dass [mm] c^n-1 [/mm] einen verlässlichen Teiler hat: [mm] c-1|c^n-1
[/mm]
Also ist [mm] 97343=\bruch{1}{4}(5^3-1)5^5+\bruch{3}{4}(5^4-1)
[/mm]
Du wählst nun ein beliebiges a für die Überprüfung von [mm] a^{97343}\equiv \a{}a\mod{97343} [/mm] (kleiner Fermat). Ich nehme 2, willkürlich und doch aus Bequemlichkeit.
Ich berechne nun:
[mm] 2^5=2^\left(5^1\right)[/mm] [mm]\equiv32\mod{97343}[/mm]
[mm] (2^5)^5=2^\left(5^2\right)[/mm] [mm]\equiv68440\mod{97343}[/mm]
[mm] ((2^5)^5)^5=2^\left(5^3\right)[/mm] [mm]\equiv89378\mod{97343} \equiv d\mod{97343}[/mm] d brauchen wir noch...
[mm] (((2^5)^5)^5)^5=2^\left(5^4\right)[/mm] [mm]\equiv18788\mod{97343} \equiv e\mod{97343} [/mm] ...und e auch
Hier höre ich mal auf. Du hast jetzt noch das Problem des Übergangs von $ d,e $ auf $ d-1,e-1 $  und das des Terms [mm] 5^5 [/mm] zu lösen, dazu die Viertelung der Terme. Es scheint ja nicht aufzugehen, aber in der Restklassenbetrachtung ist es dann doch nicht so schwierig, wie es aussieht. Jedenfalls umfasst der Weg bei weitem keine 97343 Schritte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:17 So 23.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Danke, ich hab's gecheckt!))) Echt schön! Kannst du noch die aller erste Aufgabe erklären, was von mir evtl. gewollt wird?)) Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Sa 22.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nur ne Idee zu 3 es faellt auf, dass 97343+1 ein Quadrat ist, [mm] 312^2 [/mm] also kann man es in 312-1 und 312+1 zerlegen. Aber ob man das Quadrat sehen darf ist unklar.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
wie gesagt, es soll durch gruppenoperationen erfolgen mit dem von mir vermuteten Satz... außerdem, denke ich nicht, dass der Quadrat "gesehen" werden darf. Und auch wenn, ist das kein Grund anzunehmen, dass wenn Quadrat von 312 gleich 97344, dann ist 311*313 = 97343... weisst du was ich meine? Bzw. Doch man kann es dann nachvollziehen, aber ich denk, dass ist nicht die Vorgehensweise, die in diesem Fall gewollt wurde...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Sa 22.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
ich sitze auch bei dir in der Vorlesung, vermutlich. Wenn du den Knop hast?
Ich habe die Aufgabe so gemacht. Der Satz von Fermat sagt, wenn du eine beliebige Zahl a, die zwischen 1 und p-1 liegt, nimmst und sie mit p-1 potenzierst, und das Ergebnis modulo p rechnest, muss 1 herauskommen, wenn p eine Primzahl ist. Ansonsten kommt was anderes heraus. Das kannst du schnell mit dem Computer berechnen. Es muss für alle Zahlen a mit obiger Voraussetzung funktionieren.
Allerdings gibt es Zahlen mit denen es nicht funktioniert. Also das p keine Primzahl ist aber trotzdem bei der Rechnung 1 rauskommt. Ich gehe hier jetzt aber mal nicht davon aus, denn irgendwie müssen wir es ja machen.
Bei den anderen beiden Aufgaben überlege ich noch. Hast du was zur 2. oder zur 1.?
Also ich hab was zur 1. weiß aber nicht ob es richtig ist.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Ja, ich habe die Vorlesung Algebra beim Herrn Knop. Ich verstehe nicht, hab gerade im Buch nachgeschaut, der kleine Satz von Fermat sagt :
In einer endlichen Gruppe G gilt : [mm] a^{|G|} [/mm] = e für jedes a [mm] \in [/mm] G
wie kommt man von dem zu deiner Formulierung?!
p.s. ja, die erste habe ich gemacht auf dem Blatt, von der zweiten nur a) und die 3 habe ich auch...
die 6 wurde hier schon schön angedeutet mit Restklassen einer 20-elementigen Untergruppe von S5, ich denke das wäre der richtige Ansatz.
Also, bleibt nur die 5 und b) c) von der 2... Aber bei der 5 habe ich auch einige Vermutungen))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Sa 22.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
schau mal hier nach.
http://www.mathematik.de/ger/information/landkarte/zahlen/primzahlen.html
Wenn du das durchliest dann verstehst du auch was auf Wiki zu dem Thema steht.
Welche Gruppen sind denn zyklisch bei der 1. ? Bei mir keine!
Die 3. hab ich auch glaube ich.
Bei der 5. weiß ich noch gar nichts. Muss erst mal schauen was die alternierenden Gruppen sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
zyklisch ist die mit 4 Elementen und die mit 11... für beide kannst beliebege zahl außer [mm] \overline{1} [/mm] als erzeugende nehmen und du wirst sehen, die werden alle zahlen durchlaufen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Sa 22.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hi,
danke für die Hilfe. In welcher Übung bist du eigentlich?
Ich bin Montags.
Warst du letztes Semester bei der Sarti in Algebra oder warum machst du es beim Knop wenn du doch Diplomer bist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Ja, ich war bei der Sarte, habe aber die nötige Punkte in Hausis nicht erreicht, eil ich mit Vordiplom beschöftigt war und sehr viele Blätter einfach nicht abgegeben hab. Ja, ich bin auch in der Montagsgruppe, war aber noch nie da)))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Sa 22.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Der scheis Algebra Schein ist der einzige der mir noch fehlt. Bis auf Theorie Vordiplom in Physik welches ich im März mache.
Nur bei den bisherigen Blättern, die ich abgegeben habe sah es mit Punkten nicht sehr rosig aus. Wäre absolut scheiße wenn ich wegen der 50 Prozent Hürde durch mein Vordiplom fallen würde.
Wenn du willst können wir uns ja mal zusammen an die Hausaufgaben setzen. Wenn wir beide den verdammten Schein noch brauchen.
Sage mir einfach bescheid wenn du möchtest. Ich würde mich freuen. Zusammen können wir bestimmt die 50 Prozent Hürde knacken.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
klar, warum nicht?!
meine ICQ# 103074391
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 So 23.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
das verstehe ich nicht. Wenn eine Gruppe zyklisch ist, dann wird sie von genau einem Element der Gruppe erzeugt. Also schau ich welche Elemente in den angegebenen Gruppen enthalten sind und prüfe dann welche Elemente die Gruppe erzeugen. Bei (Z mod [mm] 8Z)^{\times} [/mm] z.B. sind drin: 1, 3, 5, 7. Nach Lemma 5.3 b) aus dem Buch ist eine zyklische Gruppe der Ordnung n isomorph zu [mm] Z_{n}.
[/mm]
Also müsste die Gruppe hier dann isomorph zu [mm] Z_{4} [/mm] sein. Somit gibt es zwischen diesen beiden Gruppen also einen Isomorphismus. Damit müssten aber auch die erzeugenden Elemente der beiden Gruppen übereinstimmen. [mm] Z_{4} [/mm] wird erzeugt von 1 und 3. Aber von was wird (Z mod [mm] 8Z)^{\times} [/mm] erzeugt?
Ich hab keine Ahnung.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 So 23.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Naja, die (Z/8Z)* ist nicht zyklisch, und im Buch steht, dass jede ZYKLISCHE Gruppe der n-ten Ordnung der Zn isomorph ist!!!
Nimm (Z/4Z)* sie ist zyklisch und besteht aus {1,3} und ist isomorph zu Z2
Die (Z/11Z)* ist zyklisch, hat 10 Elemente hat aber komischerweise mehr erzeugende, als die Z10... hm...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 23.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Sorry, es stimmt alles die (Z/11Z)* ist isomorph zu Z10 und hat das selbe Erzeugenden-struktur... 4 Elemente, die man als erzeugende hernehmen kann, 4 Elemente, die nur 5 Elemente durchiterieren, 1 Element, das nur 2 Elemente durchiteriert und 1 neutrales! Stimmt alles!)))
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 So 23.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Ja aber wie kommst du darauf? Ich verstehe nicht wie ich auf die erzeugenden Elemente von (Z mod [mm] 11Z)^{\times} [/mm] komme. Wenn diese Gruppe nämlich zyklisch wäre dann hätte sie die selben erzeugenden Elemente wie Z10. Ansonsten nicht und das wäre ein Widerspruch und somit wäre die Gruppe dann eben nicht zyklisch.
Vielleicht könntest du mal sagen wie du auf die erzeugenden Elemente der Gruppe kommst. Ich komme da nicht mit.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 So 23.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Naja, nimm einfach ein Element aus der Gruppe und multipliziere mit sich selbst bis es = 1 ist... Dann wirst du sehen, ob dieses Element alle Elemente aus der Gruppe durchiteriert oder nicht...
z.B. 2 von (Z/11Z)*
mit -> werde ich die übergänge in die höheren potenzen beschreiben.
2 -> 4 -> 8 -> 5 -> 10 -> 9 -> 7 -> 3 -> 6 -> 1
siehst du? Wenn du einfach 2 potentierst bekommst du alle Elemente der Gruppe, also ist sie zyklisch und wird z.B. von 2 erzeugt.
Probier das mit Elementen der (Z/8Z)* du wirst sehen, das wird nicht gehen... du wirst die 1 "früher" trefen, was zeigt, dass die Gruppe von diesem Element nicht erzeugt sein kann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Mo 24.11.2008 | | Autor: | clwoe |
Alles klar, jetzt hab ich es verstanden.
Ich hab kein ICQ. Hast du ne Mailadresse? Wenn du willst können wir das Blatt für diese Woche zusammen machen. Wir müssten halt nur was ausmachen, wo und wann wir uns treffen. Ich hab heute schon wieder nur zwei Punkte rausbekommen. Wenn das so weitergeht kann ich einpacken.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 So 23.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
kann mir jemand eine 20-elementige Untergruppe von [mm] S_{5} [/mm] sagen? ist wohl der Ansatz zu der 2-ten Aufgabe. Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 So 23.11.2008 | | Autor: | reverend |
20 nein, 24 ja.
Tetraeder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 So 23.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Ich würde sie bitten die 2-te Aufgabe zu lesen. Man soll beweisen, dass die [mm] S_{5} [/mm] auf 6 Punkten transitiv operieren kann.
Ein Diskussionsteilnehmer hat mir geschrieben : "Mein spontaner Anlauf wäre, in S5 eine Untergruppe mit 20 Elementen zu finden und dann S5 auf den Restklassen (das wären dann die Punkte) operieren zu lassen. "
Jetzt suche ich nach einer 20-elementigen Untergruppe von [mm] S_{5}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Mo 24.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
habe gerade eben mitbekommen, dass die [mm] S_{5}, [/mm] die einzige ist, die es kann. Also auf mehr Punkten transitiv zu operieren, als sie selbst durchpermutiert!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:36 Mo 24.11.2008 | | Autor: | snarzhar |
Die Sylow-Sätze müssen auch angeblich helfen! Aber welcher und wie?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
> Die Sylow-Sätze müssen auch angeblich helfen! Aber welcher
> und wie?!
Möglicherweise ist es so:
In S5 gibt es U-Gruppen der Ordnung 5, nämlich die 5-Sylowgruppen. Ihre Anzahl teilt 120, also gibt es vielleicht 6. (Nachtrag: Es gibt 6, die Drehungen des Ikosaeders um 2 gegenüberliegende Ecken, 12 Ecken, also 6 x (4 Drehungen + Identität).) Die sind zueinander konjugiert. Das ist ein Sylow-Satz. S5 operiert auf ihnen mittels Konjugation, also transitiv.
Dann müßte nach meiner bisherigen Theorie der Normalisator einer jeden von ihnen die Ordnung 20 haben. Stimmt das alles so, ich bin im Moment auch abgelenkt?
Das muß noch mal kritisch nachbearbeitet werden...
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:10 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
> habe gerade eben mitbekommen, dass die [mm]S_{5},[/mm] die einzige
> ist, die es kann. Also auf mehr Punkten transitiv zu
> operieren, als sie selbst durchpermutiert!
Interessant, woher stammt diese Weisheit?
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:08 Mo 24.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Ich würde sie bitten die 2-te Aufgabe zu lesen. Man soll
> beweisen, dass die [mm]S_{5}[/mm] auf 6 Punkten transitiv operieren
> kann.
>
> Ein Diskussionsteilnehmer hat mir geschrieben : "Mein
> spontaner Anlauf wäre, in S5 eine Untergruppe mit 20
> Elementen zu finden und dann S5 auf den Restklassen (das
> wären dann die Punkte) operieren zu lassen. "
Das war ich, aber im Moment sehe ich selbst nicht klar. Wenn die S5 transitiv auf 6 Punkten operiert, dann ist doch die Länge einer Bahn 6 und folglich der Index des Stabilisators auch 6, also hat der Stabilisator Ordnung 20, also müßte es doch so eine Untergruppe geben. Leider kenne ich sie auch nicht persönlich. Sie müßte dann doch von einem Element der Ordnung 5 und einem der Ordnung 2 oder 4 erzeugt werden.
> Jetzt suche ich nach einer 20-elementigen Untergruppe von
> [mm]S_{5}[/mm]
Ich auch, aber nicht intensiv.
Gruß
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:11 Di 25.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> kann mir jemand eine 20-elementige Untergruppe von [mm]S_{5}[/mm]
> sagen? ist wohl der Ansatz zu der 2-ten Aufgabe. Danke!
Ja, ich habe das jetzt im Griff!
In S5 gilt
(1243)(12345)(1342) = (13524) = [mm] (12345)^2
[/mm]
Also läßt die von (12345) und (1243) erzeugte Untergruppe die von (12345) erzeugte Untergruppe, eine 5-Sylow-Gruppe, invariant.
Sie hat die Ordnung 20, wie man aus der Präsentation erkennt:
[mm] $aba^{-1}$ [/mm] = [mm] $b^2$, $a^4$ [/mm] = [mm] $b^5$ [/mm] = e
Ich bin echt ein bißchen begeistert.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:21 Do 27.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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