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| Aufgabe | | Geben Sie die multiplikative Gruppentafel eines Körpers mit 8 Elementen an. Erklären sie dabei jei ein nicht-rtiviales Prudukt in jeder nicht trivialen Zeile. |
Also das könnte ich doch bspw. für den [mm] \IZ_{9} [/mm] machen der hat die Elemente 1- 8 das sind somit acht... muss ich dann jedes Element mit jedem multiplizieren bei der Gruppentafel
und was wäre bspw. so ein nicht-triviales Produkt???
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:26 So 15.04.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
nur kurz ein paar Bemerkungen.
> Geben Sie die multiplikative Gruppentafel eines Körpers mit
> 8 Elementen an. Erklären sie dabei jei ein nicht-rtiviales
> Prudukt in jeder nicht trivialen Zeile.
> Also das könnte ich doch bspw. für den [mm]\IZ_{9}[/mm] machen der
> hat die Elemente 1- 8 das sind somit acht
Hmm, der [mm] $\IZ_9$ [/mm] ist kein Körper ($3$ ist Nullteiler). Es gibt zwar einen Körper mit neun Elementen, aber ich verstehe die Aufgabe eher so, dass der Körper acht Elemente haben soll (und nicht die multiplikative Gruppe).
> ...muss ich dann
> jedes Element mit jedem multiplizieren bei der
> Gruppentafel
Ja. Wenn Du allerdings bedenkst, dass die Multiplikation kommutativ ist, brauchst Du nur die Hälfte davon wirklich auszurechnen.
> und was wäre bspw. so ein nicht-triviales Produkt???
Ich würde darunter Produkte verstehen, bei denen kein Faktor das Null- oder das Einselement ist.
Hoffe, ich konnte Dir weiter helfen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 So 15.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Geben Sie die multiplikative Gruppentafel eines Körpers mit
> 8 Elementen an. Erklären sie dabei jei ein nicht-rtiviales
> Prudukt in jeder nicht trivialen Zeile.
>
> Also das könnte ich doch bspw. für den [mm]\IZ_{9}[/mm] machen der
> hat die Elemente 1- 8 das sind somit acht...
Nein, du hast die $0$ vergessen, damit sind es neun...
Da $8 = [mm] 2^3$ [/mm] ist brauchst du ein unzerlegbares Polynom $f [mm] \in \IZ_2[x]$ [/mm] von Grad $3$; dann ist [mm] $\IZ_2[x]/(f)$ [/mm] ein Koerper mit [mm] $2^{\deg f} [/mm] = 8$ Elementen.
Zwei Elemente $g, h [mm] \in \IZ_2[x]/(f)$ [/mm] (dargestellt durch Polynome in [mm] $\IZ_2[x]$ [/mm] von Grad $< 3$) werden dann multipliziert, indem man $g h$ als Polynom in [mm] $\IZ_2[x]$ [/mm] berechnet und dann den Rest von $g h$ bei der Division durch $f$ nimmt.
(Man kann das auch etwas einfacher machen, indem man [mm] $\alpha$ [/mm] fuer die Restklasse von $x$ in [mm] $\IZ_2[x]/(f)$ [/mm] schreibt; dann gilt [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$, womit [mm] $\alpha^3 [/mm] = $ Polynom in [mm] $\alpha$ [/mm] von Grad [mm] $\le [/mm] 2$ ist. Dann kannst du zwei Elemente $a [mm] \alpha^2 [/mm] + b [mm] \alpha [/mm] + c$ und $d [mm] \alpha^2 [/mm] + e [mm] \alpha [/mm] + f$ aus [mm] $\IZ_2[x]/(f)$ [/mm] multiplizieren, indem du $(a [mm] \alpha^2 [/mm] + b [mm] \alpha [/mm] + c) (d [mm] \alpha^2 [/mm] + e [mm] \alpha [/mm] + f)$ erstmal formal ausrechnest und dann durch die Ersetzung [mm] $\alpha^3 [/mm] = $ Polynom in [mm] $\alpha$ [/mm] von Grad [mm] $\le [/mm] 2$ das Schritt fuer Schritt in etwas der Form $g [mm] \alpha^2 [/mm] + h [mm] \alpha [/mm] + i$ uebersetzt.
Beispiel $f = [mm] x^2 [/mm] + x + 1$ (nehmen wir mal Grad 2 :) ), das ist irreduzibel, und fuer [mm] $\alpha$ [/mm] gilt dann [mm] $\alpha^2 [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + 1$ (beachte, dass in [mm] $\IZ_2$ [/mm] minus gleich plus ist). Wenn du also das Element [mm] $\alpha$ [/mm] mit dem Element [mm] $\alpha [/mm] + 1$ multiplizierst, hast du [mm] $\alpha (\alpha [/mm] + 1) = [mm] \alpha^2 [/mm] + [mm] \alpha [/mm] = [mm] (\alpha [/mm] + 1) + [mm] \alpha [/mm] = 2 [mm] \alpha [/mm] + 1 = 1$. Das waer zum Beispiel ein nicht-triviales Produkt. Ein triviales Produkt ist $1 [mm] \cdot [/mm] (1 + [mm] \alpha) [/mm] = 1 + [mm] \alpha$ [/mm] oder $0 [mm] \cdot \alpha [/mm] = 0$.
LG Felix
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