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| Aufgabe | Überprüfe die Gruppeneigenschaften bei folgenden Mengen:
a) Die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen mit + [mm] $(\IZ,+),(\IQ,+), (\IR,+), (\IC,+)$
[/mm]
b) Die Gruppe der Permutationen von n Zahlen
c) Die Menge der Abbildungen von X (Menge) nach G (Gruppe) versehen mit der Verknüpfung $(f*g)(x)=f(x)*g(x)$ (genannt [mm] $G^{X}:=Abb.(X,G)=\{\text{die Menge der Abb. von } X \text{ nach } G \}$
[/mm]
Zusatz: Prüfe: Transformationsgruppen sind Gruppen (Definition: Transformation ist eine bijektive Abbildung = injektiv (eineindeutig( $x [mm] \not= [/mm] y$ folgt $f(x) [mm] \not= [/mm] f(y)$) und surjektiv (Wertebereich ist gerade die Menge in die abgebildet wird)) Bsp: Die Abbildung $f(x)=x$ ist injektiv und surjektiv |
Diese Frage lassen wir mal bis Montag zur Beantwortung offen. Bitte nicht erschrecken oder enttäuscht sein. Mir ist vorerst nichts anderes eingefallen und mit der Form hapert es noch. Trotzdem viel Spaß und bei Bedarf einfach nachschlagen oder über das Internet die Begriffe klären. Ansonsten war es das erstmal von mir. Bis Montag.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 So 26.08.2007 | | Autor: | Kasper |
a) Gruppeneigenschaften
(Die Wohldefiniertheit der Abbildung braucht man nicht
zu prüfen wird vorausgesetzt.)
i) $(Z,+)$, [mm] $Z=\{0,\pm1,\pm2,\dots\}$
[/mm]
Assoziativität: [mm] $(a+b)+c=a+(b+c)$\\
[/mm]
Neutrales Element: $e=0$, [mm] $e+a=a+e=a$\\
[/mm]
Inverses Element: [mm] $a^{-1}=-a$, $a+(-a)=e$\\
[/mm]
(sogar kommutativ: $a+b=b+a$, d.h.\ abelsche Gruppe)
ii) $(Q,+)$
Assoziativität: [mm] $a/b+(c/d+e/f)=(a/b+c/d)+e/f$\\
[/mm]
Neutrales Element: $e=0/1$, [mm] $e+a/b=a/b+e=a/b$\\
[/mm]
Inverses Element: [mm] $a^{-1}=-a/b$, $a/b+(-a/b)=e$\\
[/mm]
(sogar kommutativ: $a/b+c/d=c/d+a/b$, d.h.\ abelsche Gruppe)
iii) $(R,+)$ analog i)
iv) $(C,+)$
Assoziativität: [mm] $((a,b)+(c,d))+(e,v)=(a,b)+((c,d)+(e,f))$\\
[/mm]
Neutrales Element: $e=(0,0)$, [mm] $e+a=a+e=a$\\
[/mm]
Inverses Element: [mm] $a^{-1}=(-a,-b)$, $(a,b)+(-a,-b)=e$\\
[/mm]
(sogar kommutativ: $(a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)$, d.h.\ abelsche Gruppe)
b) Permutationen von $n$ Zahlen
[mm] $e=\left(\begin{array}{cccc}1&2&\dots&n\\1&2&\dots&n\end{array}\right)$\\
[/mm]
[mm] $a=\left(\begin{array}{cccc}1&2&\dots&n\\p_1&p_2&\dots&p_n\end{array}\right)$\\
[/mm]
Wie bekommt man die inverse Abbildung? Zeilen vertauschen und dann die
Spalten so sortieren das die oberen Elemente in aufsteigender Reihenfolge
[mm] sind.\\
[/mm]
[mm] $a^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1&2&\dots&n\\q_1&q_2&\dots&q_n
\end{array}\right)$
[/mm]
Assoziativität: [mm] $(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)$\\
[/mm]
Neutrales Element: $e=0$, [mm] $e\circ a=a\circ e=a$\\
[/mm]
Inverses Element: [mm] $a^{-1}$, $a\circ a^{-1}=e$\\
[/mm]
c) Menge der Abbildungen von Menge $M$ nach Gruppe $G$
Gruppenelemente:
[mm] $\begin{array}{c}f:M\rightarrow G\\x\mapsto f(x)\end{array},\quad$ $\begin{array}{c}g:M\rightarrow G\\x\mapsto g(x)\end{array}$
[/mm]
Gruppenoperation:
[mm] $\begin{array}{c}f\cdot g:M\rightarrow G\\x\mapsto f(x)\cdot g(x)\end{array}$
[/mm]
Assoziativität: [mm] $((f\cdot g)\cdot h)(x)=(f(x)\cdot g(x))\cdot h(x)=f(x)\cdot(g(x)\cdot h(x))=(f\cdot(g\cdot [/mm] h))(x)$
Neutrales Element:
[mm] $\begin{array}{c}e:M\rightarrow G\\x\mapsto 1_G\end{array}$
[/mm]
[mm] $\quad e\cdot f=f\cdot e=f$\\
[/mm]
Iverses Element:
[mm] $\begin{array}{c}f^{-1}:M\rightarrow G\\x\mapsto\frac{1}{f(x)}\end{array}$
[/mm]
[mm] $\quad f\cdot f^{-1}=e$
[/mm]
[mm] \bigskip
[/mm]
Transformationsgruppe: $M$ Menge, $G$ Gruppe,
[mm] $\*$ [/mm] einsetzen des Mengenelements, [mm] $\cdot$ [/mm] Komposition der Gruppenoperation
Gruppenelemente: [mm] $\*:G\times M\rightarrow [/mm] M$
Gruppenoperation: [mm] $(g\cdot h)\*m=g\*(h\*m)$
[/mm]
Assoziativität:
[mm] $((f\cdot g)\cdot h)\* x=(f\cdot(g\cdot h))\*x$
[/mm]
Neutrales Element:
[mm] $\begin{array}{c}e:G\times M\rightarrow G\\(e_G,x)\mapsto x\end{array}$
[/mm]
[mm] $\quad (e_G\cdot f)\*x=f(x)=(f\cdot e_G)\*x$\\
[/mm]
Iverses Element:
[mm] $\begin{array}{c}f^{-1}:G\times M\rightarrow G\\(f^{-1},x)\mapsto
f^{-1}(x)\end{array}$
[/mm]
[mm] $\quad (f\cdot f^{-1})\*x=1_M=(f^{-1}\cdot f)\*x$
[/mm]
OK, so weit so gut, jetzt muss ich mal ne Woche weg, und bin am
Fr, 31.8. wieder online.
Grüße ! (Hoffentlich is was richtig)
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Hallo,
so wie ich das sehe hat Kasper sehr viel richtig.
Bei der Aufgabe mit den Permutationen von n Zahlen hätte ich noch auf die Bijektivität in jedem einzelnen Element hingewiesen und so die Assoziativität noch näher erläutert.
Nur bei der letzten Aufgabe hatte ich etwas anderes erwartet. Ein kleiner Vorgriff auf Operationen ist das glaub ich gewesen. Es hätte meiner Ansich nach auch genügt auf die Assoziativität bei bijektiven Funktionen zu verweisen und [mm] T^{-1} [/mm] als Inverse anzugeben, sowie die Identität als neutrales Element. Aber so geht es natürlich auch.
Viele Grüße
Andreas
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Hallo,
Um erstmal den ersten Teil der Aufgaben zu absolvieren schaut euch erst einmal an was eine Gruppe eigentlich ist (Google: Mathematik, Gruppe gleich das erste, etwas runterfahren: math. Def. des Begriffes). Verdeutliche dir, dass + eine ganz sinmple mathematische Operation ist und z. B. 0+x=x. Damit hast du schon das neutrale Element gefunden.
Hoffentlich hilft euch das weiter...
Mit freundlichen Grüßen
Andreas
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| Aufgabe | Hallo,
Wenn ihr Fragen habt, bitte stellt diese hier oder schreibt mich an (was eigentlich nicht empfohlen ist), das macht die Sache einfacher. War echt nicht böse gemeint, wenn die Aufgaben zu schwer sind. Ist aber richtig, dass ihr was sagt.
Mit freundlichen Grüßen
Andreas |
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