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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Fr 22.02.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Hi.
Ich sitz gerad an einer Aufgabe bei der ich aufn Schlauch stehe.
Aufgabe:
a) Es sei M eine nichtleere Meneg und P(M) die Potenzmenge von M.Ferner sei für A.B [mm] \in [/mm] P(M) die folgende Verknüpfung * definiert:
A*B:= (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (M \ (A [mm] \cup [/mm] B))
(i) Berechnen Sie M*A, A*A, [mm] \emptyset [/mm] *A.
(ii) Zeigen Sie (P(M),*) ist eine abelsche Gruppe.Die Assoziativität darf vorrausgesetzt werden.
b) Es sei (H,o,e) eine Gruppe.Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H: a o b =b [mm] \to [/mm] H={e}
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Meine Lösungsweg:
(i)
(1): M*A=(M [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (M \ (M [mm] \cup A))=\emptyset \cup [/mm] (M \ (M [mm] \cup A))=\emptyset \cup [/mm] (M \ M [mm] \cup [/mm] M\ A [mm] )=\emptyset \cup (\emptyset \cup [/mm] M)=M.
(2): A*A= (A [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (M \ (A [mm] \cup [/mm] A))=(A [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (M \ A [mm] \cup [/mm] M\ A))=(A [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (M [mm] \cup [/mm] M)=A [mm] \cap [/mm] (M [mm] \cup [/mm] M) [mm] \cup [/mm] A [mm] \cap [/mm] (M [mm] \cup [/mm] M)= [mm] \emptyset \cup \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
(3): [mm] \emptyset [/mm] * [mm] A=(\emptyset \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (M \ [mm] (\emptyset \cup B))=\emptyset \cup [/mm] (A [mm] \cap M)=(\emptyset \cup [/mm] A) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \emptyset \cup [/mm] M) [mm] =\emptyset.
[/mm]
(ii) Gruppenaxiome anwenden:
Mir ist klar das ich bei (i) etwas falsch gemacht haben muss:
(i) => M*A =A und [mm] \emptyset *A=\emptyset [/mm] => A ist neutrales Element
=> A*A =A => A ist zu sich selbts invers .Hier ligt aber der Widerspruch da [mm] A*A=\emptyset [/mm] laut meiner Rechnung ist,so dass ich vermute dass hier der Feler ligen müsste ??
b) Zu zeigen : [mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H: a o b =b [mm] \to [/mm] H={e}
{b}^(-1) sei das inverse Element zu b, e sei neutrales Element
=> a o b o ^{b}^(-1)=b o [mm] {b}^{-1}
[/mm]
=> a o e= e da a elment H => H={e}
danke für jede Hilfe vorweg
matheja
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> Hi.
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> Ich sitz gerad an einer Aufgabe bei der ich aufn Schlauch
> stehe.
>
> Aufgabe:
> a) Es sei M eine nichtleere Meneg und P(M) die Potenzmenge
> von M.Ferner sei für A.B [mm]\in[/mm] P(M) die folgende Verknüpfung
> * definiert:
> A*B:= (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (M \ (A [mm]\cup[/mm] B))
>
> (i) Berechnen Sie M*A, A*A, [mm]\emptyset[/mm] *A.
> (ii) Zeigen Sie (P(M),*) ist eine abelsche Gruppe.Die
> Assoziativität darf vorrausgesetzt werden.
>
> b) Es sei (H,o,e) eine Gruppe.Beweisen oder widerlegen Sie
> folgende Aussage:
>
> [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] H: a o b =b [mm]\to[/mm] H={e}
>
> Meine Lösungsweg:
>
> (i)
> (1): M*A=(M [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] (M \ (M [mm]\cup A))=\emptyset \cup[/mm]
> (M \ (M [mm][mm] \cup [/mm] A))
Hallo,
wie kommst Du darauf, daß [mm] A\cap M=\emptyset [/mm] ist?
> (2): A*A= (A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] (M \ (A [mm]\cup[/mm] A))
Rechne hier doch mal A [mm]\cap[/mm] A und (A [mm]\cup[/mm] A) aus.
> (3): [mm]\emptyset[/mm] * [mm]A=(\emptyset \cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (M \ [mm][mm] (\emptyset \cup [/mm] B))=
Ich nehme mal an, daß das hinter dem Gleichheitszeichen A heißen sollte. Was ist denn [mm] (\emptyset \cup [/mm] A)?
Man könnte Deine rechnungen besser nachvollziehen, würdest Du immer notieren, welche Regel Du verwendest.
> b) Zu zeigen : [mm]\forall[/mm] a,b [mm]\in[/mm] H: a o b =b [mm]\to[/mm] H={e}
Seien a, b [mm] \in [/mm] H.
Da H Gruppe, gibt es ein inverses Elment zu b.
> {b}^(-1) sei das inverse Element zu b, e sei neutrales
> Element
>
> => a o b o ^{b}^(-1)=b o [mm]{b}^{-1}[/mm]
> => a o e= e
==>a=e
> da a elment H => [mm] H=\{e\}
[/mm]
Aus [mm] a\in [/mm] H folgt also [mm] a\in \{e\}, [/mm] also ist [mm] H\subseteq \{e\} [/mm] und somit [mm] H=\{e\}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> matheja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Fr 22.02.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | DANKE !
Entschuldige für die Form.Ich geb mir wirklich mühe. |
Hallo,
wie kommst Du darauf, daß [mm]A\cap M=\emptyset[/mm] ist?
Was ist sonst A [mm] \cap [/mm] M =? Sind doch zwei unterschiedliche Mengen, die bis auf die leere Menge nichts gemeinsam haben?
> (2): A*A= (A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] (M \ (A [mm]\cup[/mm] A))
Rechne hier doch mal A [mm]\cap[/mm] A und (A [mm]\cup[/mm] A) aus.
Meinst du : A [mm]\cap[/mm] A [mm] \cup [/mm] (M\ (A [mm]\cup[/mm] A))=A [mm] \cup [/mm] A=A
Bei der (i) hab ich gr0ße Probleme.Wäre nett wenn du mir erklären könntest wei man die lösen könnte.Ich habs schon mit dem Distributivgestetz probiert, allerdings komm ich dann immer wider auf widersrüche, da ich anscheinend bei den Basics aus Mengenalgebra fehler mache.Vielleicht anhand einer von den drei Aufgaben.
Vielen vielen Dank vorweg
matheja
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>> wie kommst Du darauf, daß [mm]A\cap M=\emptyset[/mm] ist?
>
> Was ist sonst A [mm]\cap[/mm] M =? Sind doch zwei unterschiedliche
> Mengen, die bis auf die leere Menge nichts gemeinsam
> haben?
Momentchen mal! Hast Du Dir die Aufgabe durchgelesen?
Du rechnest gerade mit einem A [mm] \in [/mm] P(M). Das bedeutet, daß [mm] A\subseteq [/mm] M ist.
Welche Elemente liegen dann gemeinsam in M und A? Alle die, die in A liegen!
>
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> > (2): A*A= (A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] (M \ (A [mm]\cup[/mm] A))
>
>> Rechne hier doch mal A [mm]\cap[/mm] A und (A [mm]\cup[/mm] A) aus.
>
> Meinst du : A [mm]\cap[/mm] A [mm]\cup[/mm] (M\ (A [mm]\cup[/mm] A))=A [mm]\cup[/mm] A=A
Langsam. Was ist [mm] A\cap [/mm] A? [mm] A\cap [/mm] A=A.
Wie kommst Du darauf, daß M\ (A [mm]\cup[/mm] A)=A ist? Das stimmt nicht.
Was ist denn [mm] A\cup [/mm] A?
Was ist folglich M\ (A [mm]\cup[/mm] A)?
Sieh zu, daß Du schleunigst durchblickst, was [mm] \cap, \cup [/mm] und \ zu bedeuten haben.
Einen Überblick kannst Du Dir ![[]](/images/popup.gif) hier verschaffen.
Unten findest Du die Gesetze fürs Rechnen mit Mengen. Die für die symmetrische Differenz mußt Du Dir im Moment nicht unbedingt merken.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Fr 22.02.2008 | | Autor: | matheja |
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> >> wie kommst Du darauf, daß [mm]A\cap M=\emptyset[/mm] ist?
> >
> > Was ist sonst A [mm]\cap[/mm] M =? Sind doch zwei unterschiedliche
> > Mengen, die bis auf die leere Menge nichts gemeinsam
> > haben?
>
> Momentchen mal! Hast Du Dir die Aufgabe durchgelesen?
>
> Du rechnest gerade mit einem A [mm]\in[/mm] P(M). Das bedeutet, daß
> [mm]A\subseteq[/mm] M ist.
>
> Welche Elemente liegen dann gemeinsam in M und A? Alle die,
> die in A liegen!
>
>
> >
> >
> > > (2): A*A= (A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] (M \ (A [mm]\cup[/mm] A))
> >
> >> Rechne hier doch mal A [mm]\cap[/mm] A und (A [mm]\cup[/mm] A) aus.
> >
> > Meinst du : A [mm]\cap[/mm] A [mm]\cup[/mm] (M\ (A [mm]\cup[/mm] A))=A [mm]\cup[/mm] A=A
>
> Langsam. Was ist [mm]A\cap[/mm] A? [mm]A\cap[/mm] A=A.
>
> Wie kommst Du darauf, daß M\ (A [mm]\cup[/mm] A)=A ist? Das stimmt
> nicht.
>
> Was ist denn [mm]A\cup[/mm] A?
A [mm] \cup [/mm] A = A ?
> Was ist folglich M\ (A [mm]\cup[/mm] A)
M \ ( A [mm] \cup [/mm] A) = [mm] \emptyset
[/mm]
=> A*A= (A [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] ( M \ (A [mm] \cup [/mm] A))
=> A [mm] \cup [/mm] ( [mm] \emptyset [/mm] )= A
M*A=( M [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] ( M\ (M [mm] \cup [/mm] A) Wende Distributivgesetz
= A [mm] \cup [/mm] (M \ A [mm] \cap [/mm] M \ A)= A [mm] \cup [/mm] ( [mm] \emptyset)= [/mm] A.
[mm] \emptyset*A= [/mm] ( [mm] \emptyset \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] ( M \ ( [mm] \emptyset \cup [/mm] A))= [mm] \emptyset \cup [/mm] (M \ [mm] \emptyset \cap [/mm] M \ A) = [mm] \emptyset
[/mm]
Bin nicht sicher ob das nun richtig ist
Danke vorweg
matheja
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> A [mm]\cup[/mm] A = A ?
Ja.
Wenn ich die Menge mit sich selbst vereinige, kommt die Menge selbst heraus.
> > Was ist folglich M\ (A [mm]\cup[/mm] A)
[mm] M\(A\cup [/mm] A) ist zunächst mal wegen obiger Erkenntnisse =M \ A.
>
> M \ ( A [mm]\cup[/mm] A) = [mm]\emptyset[/mm]
Wie kommst Du bloß auf die leere Menge?
Mal Dir das mal auf: ein großer Ballon, das ist die Menge M.
Die Menge A ist nach Voraussetzung eine Teilmenge von M, also ein kleiner Ballon im großen Ballon.
"M \ A " bedeutet nun: nimm den kleinen Ballon aus dem Großen heraus. Was bleibt? Ein großer Ballen mit einem Loch. Das ist M \ A.
> => A*A= (A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] ( M \ (A [mm]\cup[/mm] A))
= A [mm] \cup [/mm] ( M \ A)
Was ist das? wir haben den Ballon mit A-förmigem Loch und vereinigen das mit A.
Was kommt raus? M! A paßt ja genau in das Loch von M \ A.
(Die Sache mit den Ballons und den Löchern solltest Du Deinen mathechefs nicht auf die Nase binden. Aber für Überlegungen auf dem Zettel ist das sehr nützlich.)
> M*A=( M [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] ( M\ (M [mm]\cup[/mm] A) Wende
> Distributivgesetz an
Distributivgesetz ist gut. Du mußt es allerdings richtig anwenden.
Was ist ( M\ (M [mm]\cup[/mm] A) ) ?
A [mm]\cup[/mm] ( [mm]\emptyset)=[/mm] A.
>
> [mm]\emptyset*A=[/mm] ( [mm]\emptyset \cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] ( M \ ( [mm]\emptyset \cup[/mm]
> A))= [mm]\emptyset \cup[/mm] (M \ [mm]\emptyset \cap[/mm] M \ A) =
Bis hierher ist's richtig.
Was ist M \ [mm] \emptyset? [/mm] Wenn Du die leere Menge von M wegnimmst? Welche gemeinsamen Elemente haben die übrigbleibende Menge und M \ A?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Fr 22.02.2008 | | Autor: | matheja |
M * A= ( M [mm] \cap [/mm] A ) [mm] \cup [/mm] ( M \ (M [mm] \cup [/mm] A)=( A) [mm] \cup [/mm] ( M \ M [mm] \cap [/mm] M \ A)=( A) [mm] \cup [/mm] ( [mm] \emptyset \cap [/mm] (M \ A)=A
A*A=( A [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] ( M \ ( A [mm] \cup [/mm] A)=A [mm] \cup [/mm] (M \ A)= M
[mm] \emptyset [/mm] *A=( [mm] \emptyset \cap [/mm] A ) [mm] \cup [/mm] (M \ [mm] \emptyset \cup [/mm] A )= [mm] \emptyset \cup [/mm] ( M \ [mm] \emptyset \cap [/mm] M \ A)= [mm] \emptyset \cup [/mm] ( M [mm] \cap [/mm] (M \ A)= [mm] \emptyset \cup [/mm] ( M \ A)= ( M \ A)
=> M ist neutrales Element
=> A ist zu sich selbst invers
Ist das nun richtig ? Beim letzen bin ich mir unsicher
Danke vorweg
matheja
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> M * A= ( M [mm]\cap[/mm] A ) [mm]\cup[/mm] ( M \ (M [mm]\cup[/mm] A)=( A) [mm]\cup[/mm] ( M \ M
> [mm]\cap[/mm] M \ A)=( A) [mm]\cup[/mm] ( [mm]\emptyset \cap[/mm] (M \ A)=A
>
> A*A=( A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] ( M \ ( A [mm]\cup[/mm] A)=A [mm]\cup[/mm] (M \ A)= M
>
> [mm]\emptyset[/mm] *A=( [mm]\emptyset \cap[/mm] A ) [mm]\cup[/mm] (M \ [mm]\emptyset \cup[/mm]
> A )= [mm]\emptyset \cup[/mm] ( M \ [mm]\emptyset \cap[/mm] M \ A)= [mm]\emptyset \cup[/mm]
> ( M [mm]\cap[/mm] (M \ A)= [mm]\emptyset \cup[/mm] ( M \ A)= ( M \ A)
Hallo,
es war eine schwere Geburt, aber um des Ergebnisses willen hat es sich gelohnt: es ist jetzt alles richtig.
>
> => M ist neutrales Element
Hierzu solltest Du noch ausrechnen, ob auch A*M = A ist. Es sei denn, Du hättest die Kommutativität bereits gezeigt.
> => A ist zu sich selbst invers
Ja.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Sa 23.02.2008 | | Autor: | matheja |
Danke für dein anschauliches Beispiel.Hat mir wirklich weitergeholfen .
lg
matheja
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