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| Aufgabe | Sei [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe.
(a) Beweisen Sie, dass G genau ein neutrales Element besitzt.
(b) Beweisen Sie, dass für [mm] a,b\in [/mm] G die folgenden Identitäten gelten:
[mm] (a\circ b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1}
[/mm]
[mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] = a |
Zu (a)
Ich habe eine Lösung, bin mir aber unsicher ob diese als vollständiger Beweis angesehen werden kann.
A und B seinen Aussagen.
A = " [mm] (G,\circ) [/mm] ist eine Gruppe"
B = " [mm] (G,\circ) [/mm] besitzt genau ein neutrales Element"
Zu zeigen A [mm] \Rightarrow [/mm] B:
Widerspruchsbeweis:
A [mm] \Rightarrow \neg [/mm] B
[mm] \neg [/mm] B = [mm] "(G,\circ) [/mm] besitzt mindestens 2 neutrale Elemente"
Ich zeige, dass [mm] \neg [/mm] B eine falsche Aussage ist.
Sei a,e,e' [mm] \in [/mm] G, wobei e [mm] \wedge [/mm] e' zwei neutrale Elemente von G sind und e [mm] \not= [/mm] e'
a [mm] \circ [/mm] e = a (Nach def des neutalen Elementes)
a [mm] \circ [/mm] e' = a (Nach def des neutalen Elementes)
[mm] \Rightarrow [/mm] (a [mm] \circ [/mm] e) [mm] \circ [/mm] e' = a (Einsetzen der einen Def in die Andere)
[mm] \gdw [/mm] a [mm] \circ [/mm] (e [mm] \circ [/mm] e') = a (Per Def gilt in einer Gruppe das Assioziativgesetz)
[mm] \Rightarrow [/mm] e [mm] \circ [/mm] e' = e [mm] \wedge [/mm] e [mm] \circ [/mm] e' = e' (Per Def des neutralen Elements)
Also muss e=e' sein, was ein Widerspruch ist.
Ist das wirklich ein Beweis? Die Folgerungen am schluss erscheinen mir so trivial.
______________________________________________
Zu (b)
Bei B komme ich nicht wirklich zu etwas, das ich als Beweis sehen würde.
Wir haben [mm] a^{-1} [/mm] als Inverses Element definiert wie folgt:
[mm] a^{-1} \circ [/mm] a = e = a [mm] \circ a^{-1}
[/mm]
Zu (a [mm] \circ [/mm] b [mm] )^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1}
[/mm]
Die einzige idee die ich habe ist zu zeigen, dass
(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ (a\circ b)^{-1} [/mm] = e
und
(a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) [/mm] = e
Dann könnte ich die Gleichheit der Terme folgern aus der Gleichheit beider mit e.
Aber mir ist keine Rechenregel in der [mm] (G,\circ) [/mm] bekannt, die die notwendige Aquivalenzumformung zulassen würde. Oder darf ich folgendes tun:
(a [mm] \circ b)^{-1} [/mm] = [mm] b^{-1} \circ a^{-1} |\circ (a\circ [/mm] b)
[mm] \gdw [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ (b^{-1} \circ a^{-1}) [/mm] = (a [mm] \circ [/mm] b) [mm] \circ [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b [mm] )^{-1}
[/mm]
Zu [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] = a
Hier habe ich nicht die kleinste Idee. Offensichtlich ist es Intuitiv Richtig, dass das Inverse des Inversen wieder der Ursprung ist, aber hier brauche ich dringend einen Denkanstoss für meinen Beweis.
Vielen Dank im Vorraus,
Leimon Sergaij
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Sei [mm](G,\circ)[/mm] eine Gruppe.
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> (a) Beweisen Sie, dass G genau ein neutrales Element
> besitzt.
> (b) Beweisen Sie, dass für [mm]a,b\in[/mm] G die folgenden
> Identitäten gelten:
> [mm](a\circ b)^{-1}[/mm] = [mm]b^{-1} \circ a^{-1}[/mm]
>
> [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] = a
> Zu (a)
> Ich habe eine Lösung, bin mir aber unsicher ob diese als
> vollständiger Beweis angesehen werden kann.
>
> A und B seinen Aussagen.
> A = " [mm](G,\circ)[/mm] ist eine Gruppe"
> B = " [mm](G,\circ)[/mm] besitzt genau ein neutrales Element"
> Zu zeigen A [mm]\Rightarrow[/mm] B:
> Widerspruchsbeweis:
> A [mm]\Rightarrow \neg[/mm] B
> [mm]\neg[/mm] B = [mm]"(G,\circ)[/mm] besitzt mindestens 2 neutrale
> Elemente"
> Ich zeige, dass [mm]\neg[/mm] B eine falsche Aussage ist.
>
> Sei a,e,e' [mm]\in[/mm] G, wobei e [mm]\wedge[/mm] e' zwei neutrale Elemente
> von G sind und e [mm]\not=[/mm] e'
> a [mm]\circ[/mm] e = a (Nach def des neutalen Elementes)
> a [mm]\circ[/mm] e' = a (Nach def des neutalen Elementes)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (a [mm]\circ[/mm] e) [mm]\circ[/mm] e' = a (Einsetzen der einen
> Def in die Andere)
> [mm]\gdw[/mm] a [mm]\circ[/mm] (e [mm]\circ[/mm] e') = a (Per Def gilt in
> einer Gruppe das Assioziativgesetz)
> [mm]\Rightarrow[/mm] e [mm]\circ[/mm] e' = e [mm]\wedge[/mm] e [mm]\circ[/mm] e' = e' (Per
> Def des neutralen Elements)
> Also muss e=e' sein, was ein Widerspruch ist.
>
> Ist das wirklich ein Beweis? Die Folgerungen am schluss
> erscheinen mir so trivial.
Donnerwetter! Hier hast du aber ganz schön ausgeholt! 
Was ist denn, wenn in der Gruppe nur ein Element enthalten ist? Nämlich nur das neutrale Element. Dann hast du ja gar kein [mm] $a\in [/mm] G$ mit [mm] $a\not=e$.
[/mm]
Also: Seien [mm] e,e'\in [/mm] G zwei neutrale Elemente mit [mm] e\not=e'.
[/mm]
Dann ist e=ee'=e'e=e' [mm] \Rightarrow [/mm] e=e'. Widerspruch zu [mm] e\not=e'. [/mm] Also gibt es nur ein neutrales Element.
> ______________________________________________
>
> Zu (b)
> Bei B komme ich nicht wirklich zu etwas, das ich als
> Beweis sehen würde.
> Wir haben [mm]a^{-1}[/mm] als Inverses Element definiert wie
> folgt:
> [mm]a^{-1} \circ[/mm] a = e = a [mm]\circ a^{-1}[/mm]
>
> Zu (a [mm]\circ[/mm] b [mm])^{-1}[/mm] = [mm]b^{-1} \circ a^{-1}[/mm]
> Die einzige
> idee die ich habe ist zu zeigen, dass
> (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ (a\circ b)^{-1}[/mm] = e
> und
> (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ (b^{-1} \circ a^{-1})[/mm] = e
> Dann könnte ich die Gleichheit der Terme folgern aus der
> Gleichheit beider mit e.
> Aber mir ist keine Rechenregel in der [mm](G,\circ)[/mm] bekannt,
> die die notwendige Aquivalenzumformung zulassen würde.
> Oder darf ich folgendes tun:
> (a [mm]\circ b)^{-1}[/mm] = [mm]b^{-1} \circ a^{-1} |\circ (a\circ[/mm]
> b)
> [mm]\gdw[/mm] (a [mm]\circ[/mm] b) [mm]\circ (b^{-1} \circ a^{-1})[/mm] = (a [mm]\circ[/mm] b)
> [mm]\circ[/mm] (a [mm]\circ[/mm] b [mm])^{-1}[/mm]
>
> Zu [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] = a
> Hier habe ich nicht die kleinste Idee. Offensichtlich ist
> es Intuitiv Richtig, dass das Inverse des Inversen wieder
> der Ursprung ist, aber hier brauche ich dringend einen
> Denkanstoss für meinen Beweis.
Das Zielt ist ja zu zeigen, dass das Inverse Element von [mm] a\circ b=b^{-1}\circ a^{-1} [/mm] ist. Der Term [mm] (a\circ b)^{-1} [/mm] ist ja mehr symbolisch zu sehen.
Der Ansatz ist aber ok.
[mm] (a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})
[/mm]
Nun nutze das Assoziativgesetz. Damit bekommen wir: [mm] (a\circ b)\circ (b^{-1}\circ a^{-1})=a\circ(b\circ b^{-1})\circ a^{-1}=(a\circ e)\circ a^{-1}=...=e
[/mm]
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> Vielen Dank im Vorraus,
> Leimon Sergaij
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Natürlich habe ich nicht bedacht, dass die Gruppe nur die beiden neutralen Elemente enthalten kann.
Ich konnte nun also (a) und (b)Teil1 Lösen.
Zu (b)Teil2 habe ich leider noch immer keine Idee für ein Ansatz.
Hast du nicht vielleicht doch ein Tip?
> Zu $ [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] $ = a
> Hier habe ich nicht die kleinste Idee. Offensichtlich ist
> es Intuitiv Richtig, dass das Inverse des Inversen wieder
> der Ursprung ist, aber hier brauche ich dringend einen
> Denkanstoss für meinen Beweis.
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Hallo,
ja klar, da schauen wir doch mal.
Argumentieren könntest du so:
Zunächst gilt natürlich [mm] (a^{-1})^{-1}\circ a^{-1}=e. [/mm] Weiter ist aber auch [mm] a\circ a^{-1}=1. [/mm] Das heißt also, dass das Inverse von [mm] a^{-1} [/mm] einmal [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] aber offensichtlich auch $a$ selbst ist.
Oben haben wir aber schon bewiesen, dass es nur ein neutrales Element gibt - ähnlich ist das auch mit dem inversen: Zu jedem [mm] x\in [/mm] G gibt es genau ein inverses Element [mm] x^{-1}\in [/mm] G.
Und somit ist also [mm] (a^{-1})^{-1}=a
[/mm]
Und fertsch is die Laube
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