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Gültigkeit im Komplexen: benötige Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:03 Mo 05.01.2015
Autor: smoot

Hallo,

Mich würde es interessieren, ob der Satz [mm] a^{2}+b^{2}=c^{2} [/mm] Gültigkeit bei der Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken in der Gaußschen Zahlenebene hat?

Wenn ich z.B die Länge der Hypothenuse eines Dreiecks mit den Punkten z1= -5; z2 = -2+3j; z3= -2 [mm] (z\in \IC) [/mm] berechnen möchte (genauer ist der Abstand zwischen z1 und z2 gesucht)darf ich dann für die Länge der einen Seite = 3 als Wert verwenden (aus -2 + 3j)?
Hat die errechnete Seitenlänge in der Gaußschen Ebene die selbe Aussagekraft wie in der x/y Ebene und wenn nicht, wie könnte man sich diese veranschaulichen?

Danke für eure Hilfe.

        
Bezug
Gültigkeit im Komplexen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:04 Di 06.01.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> Mich würde es interessieren, ob der Satz [mm]a^{2}+b^{2}=c^{2}[/mm]
> Gültigkeit bei der Berechnung von rechtwinkligen Dreiecken
> in der Gaußschen Zahlenebene hat?

ja. Das liegt u.a. daran, dass die euklidische Norm des [mm] $\IR^2$ [/mm] das gleiche wie
die Norm in [mm] $\IC$ [/mm] ist, wenn man [mm] $\IC$ [/mm] mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifiziert. (Zudem
hat es etwas damit zu tun, wie die Addition in [mm] $\IC$ [/mm] mit einer *anschaulichen
Vektoraddition des [mm] $\IR^2$* [/mm] "zusammenhängt"!)

Anders bzw. etwas genauer gesagt:
Wenn Du [mm] $z=x+i*y\,$ [/mm] (mit $x,y [mm] \in \IR$) [/mm] hast, dann kannst Du

    $z=x+iy$ mit $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm]

identifizieren. Dann ist $|z|$ die Länge der Hypothenuse des Dreiecks mit  den
Eckpunkten

    [mm] $(0,0),\,$ $(x,0)\,$ [/mm] und [mm] $\,(0,y).$ [/mm]
  
(Anmerkung: Ich schreibe, wie in der Mathematik gängiger, immer [mm] $i\,$ [/mm] statt
[mm] $j\,$ [/mm] für die imaginäre Einheit!)

> Wenn ich z.B die Länge der Hypothenuse eines Dreiecks mit
> den Punkten z1= -5; z2 = -2+3j; z3= -2 [mm](z\in \IC)[/mm] berechnen
> möchte (genauer ist der Abstand zwischen z1 und z2
> gesucht)darf ich dann für die Länge der einen Seite = 3
> als Wert verwenden (aus -2 + 3j)?

Das wären also die Punkte

    [mm] $Z_1:=(-5,0),\,$ $Z_2:=(-2,3)\,$ [/mm] und [mm] $Z_3:=(-2,0)$ [/mm]

im [mm] $\IR^2.$ [/mm] In der Tat gilt nun

    [mm] $\overrightarrow{Z_1,Z_3} \bullet \overrightarrow{Z_2,Z_3}=(3,0) \bullet (0,-3)=3*0+0*(-3)=0\,,$ [/mm]

(Kontrollrechnung zur Rechtwinkligkeit des Dreiecks; [mm] $\bullet$ [/mm] steht für das
*übliche* Skalarprodukt im [mm] $\IR^n$!), [/mm] so dass auch anschaulich

    [mm] $\|\overrightarrow{Z_1,Z_2}\|=\sqrt{\|(3,0)\|^2+\|(0,-3)\|^2}=3*\sqrt{2}$ [/mm]

berechnet werden kann.

Wesentlich einfacher ist aber

    [mm] $\|\overrightarrow{Z_1,Z_2}\|=|z_2-z_1|=|(-2+3*i)-(-5+0*i)|=|3+3*i|=\sqrt{\red{3}^2+\blue{3}^2}=\sqrt{18}=3*\sqrt{2}$ [/mm]

zu berechnen. Beachte: Für

    [mm] $\IC \ni z=\red{x}+i*\blue{y}$ [/mm] mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm]

gilt

    [mm] $|z|:=\sqrt{\blue{x}^2+\red{y}^2}\,.$ [/mm]

>  Hat die errechnete Seitenlänge in der Gaußschen Ebene
> die selbe Aussagekraft wie in der x/y Ebene und wenn nicht,
> wie könnte man sich diese veranschaulichen?

Die komplexe Zahlenexebene ist anschaulich mit dem [mm] $\IR^2$ [/mm] identifizierbar.
Beachte allerdings, dass Du [mm] "$\IR^2$-Vektoren [/mm] bzw. Punkte" nicht multiplizierst.
(Natürlich gibt es gewisse Multiplikationen wie etwa das Skalarprodukt, ich
meine aber "Multiplikation wie üblich".)

Die geometrische Deutung, wenn man also die in [mm] $\IC$ [/mm] definierte Multiplikation
zweier komplexer Zahlen in den [mm] $\IR^2$ [/mm] (wie etwa []hier in Bemerkung
und Definition 4.1
) *überträgt*, ist also schon etwas, was etwas
mehr Nachdenken erfordert. Aber für Deine Frage ist das nun eher etwas
nebensächlich ...

P.S. Mach' Dir bitte auch klar: Ist

    [mm] $z_k=x_k+i*y_k$ [/mm] mit [mm] $x_k,y_k \in \IR$ [/mm] für $k=1,2$,

wir identifizieren die kleinen z entsprechend mit in Großbuchstaben
geschriebenen Z mit

    [mm] $Z_k=(x_k,y_k) \in \IR^2,$ [/mm]

so "passt"

    [mm] $z_2-z_1=(x_2-x_1)+i*(y_2-y_1)$ [/mm]

"anschaulich" zu

    [mm] $\overrightarrow{Z_1,Z_2}=Z_2-Z_1=(x_2-x_1,y_2-y_1).$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

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