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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Mo 13.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Ich habe hier eine Satz, zu dem es leider in meiner Vorlseung keinen Beweis gibt. Meine Frage beschäftigt sich aber mit dem Sinn dieses Satzes.Also, was steckt dahinter....? Ich habe auch in unseren Übungen nach Aufgaben diesbezüglich gesucht, leider ohne Erfolg ... :-(
Satz :
Sei R ein HIR ( Hauptidealring + Integritätsring ) und [mm] a,b \in R [/mm].
Sei [mm] \langle a, b \rangle : = aR + bR [/mm]
das Ideal , das von a und b erzeugt wird und
[mm] dR = \langle a, b \rangle [/mm].
Dann ist d ein ggT (a,b ).
Es ist ja so, dass , weil R ein Hauptidealring ist, jedes Ideal ein Hauptideal ist. Und wenn wir nun ein Ideal nehmen, welches von 2 Elementen aus R erzeugt wird , dann wird genau dieses Ideal auch von dem ggT dieser beiden Elemente erzeugt... Ungefähr so?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Di 14.10.2008 | | Autor: | PeterB |
Das ggT von zwei Elementen $a,b$ in einem Ring $R$ ist definiert als ein Element [mm] $d\in [/mm] R$ mit $d|a$ und $d|b$ und wenn [mm] $\forall c\in [/mm] R$ mit $c|a$ und $c|b$ folgt $c|d$. So etwas nennt man eine universelle Eigenschaft. Im Allgemeinen ist nicht klar dass ein solches Element existiert. Tatsächlich gibt es Beispiele von Ringen wo das nicht der Fall ist.
Dein Satz sagt nun: "In Hauptidealringen gibt es immer ein ggT." Das ist doch schon mal eine nette Aussage. Allerdings gilt allgemeiner, dass es in faktoriellen Ringen ein ggT gibt, weshalb diese Anwendung nicht so wichtig ist.
Die zweite (wichtigere) Anwendung ist: "In HIR kann man das ggT durch die Elemente darstellen." In Formeln: $d=ra+sb$ mit [mm] $r,s\in [/mm] R$ auch das ist im Allgemeinen falsch, selbst wenn das ggT existiert. Für einige Rechnungen ist das aber praktisch.
Schließlich ist es eine Methode das ggT in einem HIR zu berechnen, in der kein euklidischer Ring ist. Allerdings habe ich diese Anwendung noch nie gesehen.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Di 14.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen lieben Dank für den Beitrag!
Viele Grüße
Irmchen
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