HP,TP,WP-Bestimmung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe folhgende Aufgabe, bei der ich eine kurze Anleitung brauche, was zu tun ist, bzw. wie ich vorgehen muss:
[mm] f:\IR^{2}\to\IR:(x,y)\mapsto-x^{3}y+xy^{2}+3xy
[/mm]
a) Wie komme ich auf die kritischen Stellen [mm] (x_{0},y_{0})\in\IR^{2} [/mm] der Funktion f ?
b) Maxima
c) Minima
d) Sattelpunkte
? Bitte um eine kurze Anleitung, habe so eine Rechnung noch nie mit zwei Unbekannten durchgeführt!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:58 Mo 26.05.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich gehe davon aus, dass ihr das in der Vorlesung schon hattet, du aber nicht die richtigen Werkzeuge in deinem Skript findest. Hier einmal ein paar Stichpunkte nach denen du Ausschau halten solltest.
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR:(x,y)\mapsto-x^{3}y+xy^{2}+3xy[/mm]
>
> a) Wie komme ich auf die kritischen Stellen
> [mm](x_{0},y_{0})\in\IR^{2}[/mm] der Funktion f ?
Hier musst du den [mm] \red{Gradienten} [/mm] bestimmen:
[mm] gradf=\nabla{f}=(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}},\bruch{\partial{f}}{\partial{y}})
[/mm]
Die kritischen Punkte erhälst du, indem du [mm] gradf=\nabla{f}=(\bruch{\partial{f}}{\partial{x}},\bruch{\partial{f}}{\partial{y}})=(0,0) [/mm] löst.
> b) Maxima
>
> c) Minima
>
> d) Sattelpunkte
Bei b),c) und d) ist es hilfreich, wenn du dir einmal die [mm] \red{Hesse-Matrix} [/mm] ansiehst. Der dazugehörige Wikipedia-Artikel ist meines Erachtens sehr aufschlussreich - zumindest hat er mir damals geholfen. 
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier
> lg Surfer
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Nee, irgendwie reicht mir das hier nicht, kannst mir bissl genauer beschreiben wie ich vorgehen muss? Wie ich genau auf die kritischen Stellen komme und dann vollends Minima, Maxima und Sattelpunkt bestimmen kann! Ist hier leider mein erstes und einziges Beispiel, sonst würde ich solche Aufgaben auch lösen können!
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Di 27.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Die kritischen Punkte erhältst Du, indem Du die entsprechenden partiellen Ableitungen bestimmst und die zugehörigen Nullstellen berechnest.
Wie lauten denn Deine partiellen Ableitungen [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] bzw. [mm] $f_y(x,y)$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Di 27.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also:
f´(x) = [mm] -3yx^{2}+y^{2}+3y
[/mm]
f´´(x) = -6yx
[mm] f_{x}´´(y) [/mm] = [mm] -3x^{2}+2y+3
[/mm]
f´(y) = [mm] -x^{3}+2xy+3x
[/mm]
f´´(y) = 2x
[mm] f_{y}´´(x) [/mm] = [mm] -3x^{2}+2y+3
[/mm]
oder?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Also:
> f´(x) = [mm]-3yx^{2}+y^{2}+3y[/mm]
Das ist [mm] $f_x(x,y)$
[/mm]
von $f'(x)$ spricht man bei den partiellen Ableitungen nicht
Wenn du partiell nach einer Variable ableitest, betrachtest du die andere als (reelle) Zahl oder Konstante
> f´´(x) = -6yx
Das wäre die zweite partielle Ableitung nach x, also [mm] $f_{xx}(x,y)$
[/mm]
> [mm]f_{x}´´(y)[/mm] = [mm]-3x^{2}+2y+3[/mm]
Das ist [mm] $f_{xy}(x,y)$
[/mm]
Du musst aufpassen, dass du das alles richtig aufscheibst
Die Funktion f geht doch von [mm] $\IR^2\to\IR$
[/mm]
Die Argumente sind also Vektoren aus dem [mm] $\IR^2$
[/mm]
Da kannst du nicht einfach f'(x) oder f'(y) schreiben
> f´(y) = [mm]-x^{3}+2xy+3x[/mm]
ja, genau wie oben, das ist [mm] $f_y(x,y)$
[/mm]
> f´´(y) = 2x
> [mm]f_{y}´´(x)[/mm] = [mm]-3x^{2}+2y+3[/mm]
>
> oder?
>
> lg Surfer
Also wie du praktisch partiell ableiten musst, hat du kapiert
Es ist aber furchtbar aufgeschrieben, versuche, dich an die übliche Notation zu halten.
Nun überlege, wann [mm] $f_x(x,y)=0=f_y(x,y)$ [/mm] erfüllt ist, also [mm] $-3yx^{2}+y^{2}+3y=0 [/mm] \ [mm] \mbox{und} [/mm] \ [mm] -x^3+2xy+3x=0$ [/mm] ist
Damit bekommst du deine stationären Punkte, also die Kandidaten für Extremstellen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:31 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Surfer |
D.h. ich löse nach x und y auf oder wie ? Weil wenn ich jetzt [mm] f_{x}(x,y) [/mm] nach x auflöse, habe ich dastehen: [mm] x^{2}=\bruch{y+3}{3}
[/mm]
oder ist es besser man schreibt das ganze in eine Matrix? nur wie?
lg Surfer
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> D.h. ich löse nach x und y auf oder wie ? Weil wenn ich
> jetzt [mm]f_{x}(x,y)[/mm] nach x auflöse, habe ich dastehen:
> [mm]x^{2}=\bruch{y+3}{3}[/mm]
> oder ist es besser man schreibt das ganze in eine Matrix?
> nur wie?
Hallo,
Matrix und Gauß sind für lineare GS, ein solches hast Du hier aber nicht. Leider. Denn nichtlineare GS können ziemlich fies sein.
Du mußt beim Auflösen von Gleichungen aufpassen, daß Du keine möglichen Lösungen verlierst:
Du hattest
[mm] 0=-3yx^2+y^2+3y=-3y(x^2-\bruch{y}{3}-1), [/mm] und daraus folgt
y=0 oder
> [mm] x^{2}=\bruch{y+3}{3}
[/mm]
Mit diesen Informationen gehe nun in die andere Gleichung.
Untersuche einmal den Fall y=0 und dann den Fall [mm] x^{2}=\bruch{y+3}{3}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Das kappier ich irgendwie nicht, wieso darf ich so nach y auflösen? in welche Gleichungen muss ich dann das Ergebnis einsetzten in die 2 Ableitung oder in die erste Ableitung nach y?
lg Surfer
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> Das kappier ich irgendwie nicht, wieso darf ich so nach y
> auflösen?
Hallo,
ich habe folgendes verwendet: in den reellen Zahlen folgt aus 0=ab, daß entweder a=0 oder b=0.
Du hast beim Auflösen nach [mm] x^2 [/mm] durch y dividiert. Deshalb hättest Du notieren müssen "für [mm] y\not=0" [/mm] und dann den Fall y=0 gesondert untersuchen.
> in welche Gleichungen muss ich dann das Ergebnis
> einsetzten in die 2 Ableitung oder in die erste Ableitung
> nach y?
Letzteres.
[mm] f_x=0
[/mm]
[mm] f_y=0
[/mm]
ist ja das GS, welches Du gerade lösen möchtest.
Die erste Gleichung hast Du ausgeschlachtet, jetzt geht's mit den Ergebnissen in die zweite.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Oh nee. entweder ich bin vor lauter Hitze hier geblendet oder ich hab nen Brett vor dem Kopf! Irgendwie komm ich mit der Aufgabe auf keinen grünen Zweig und mach mehr Zeit kaputt mit rumstöbern als gedacht!
Ich hab hier mal die Aufgabe mit den Ergebnissen auf die man kommen sollte:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wäre es zu viel verlangt mir mal eine sozusagen Musterlösung der Aufgabe zu machen, da mich von dieser Art noch mehr Aufgaben erwarten und ich wohl mit einem schönen Beispiel mehr erreichen würde, als hier noch mehr Zeit kaputt zu schlagen!
Wäre super lieb und dankbar!
lg Surfer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Oh nee. entweder ich bin vor lauter Hitze hier geblendet
> oder ich hab nen Brett vor dem Kopf! Irgendwie komm ich mit
> der Aufgabe auf keinen grünen Zweig und mach mehr Zeit
> kaputt mit rumstöbern als gedacht!
Hallo,
aber der aktuelle Plan steht doch längst:
lösen von
[mm] f_x=0
[/mm]
[mm] f_y=0
[/mm]
Du warst doch schon so weit, daß Du erste Resultate hattest, mit welchen Du nun in die zweite der Gleichungen gehen mußtest.
Wo ist das Problem?
Hast Du inzwischen mal untersuchst, welchen x-Wert Du für y=0 erhältst?
Und welche y-Werte ergeben sich, wenn Du mit $ [mm] x^{2}=\bruch{y+3}{3} [/mm] $ bzw. [mm] x=\wurzel{\bruch{y+3}{3}} [/mm] und [mm] x=-wurzel{\bruch{y+3}{3}} [/mm] in die zweite Gleichung gehst?
> Wäre es zu viel verlangt mir mal eine sozusagen
> Musterlösung der Aufgabe zu machen,
Irgendwie schon.
> da mich von dieser Art
> noch mehr Aufgaben erwarten
Man lernt das durchs Üben.
Rechne doch mal vor, wir helfen Dir doch weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Also meine Ableitungen sind ja:
[mm] f_{x}(x,y) [/mm] = [mm] -3x^{2}y+y^{2}+3y
[/mm]
[mm] f_{xx}(x,y) [/mm] = -6xy
[mm] f_{y}(x,y) [/mm] = [mm] -x^{3}+2yx+3x
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,y) [/mm] = 2
wenn ich [mm] f_{x}(x,y) [/mm] = 0 setze bekomme ich heraus:
für x: [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{y+3}{4}} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{\bruch{y+3}{4}} [/mm]
für y: [mm] y=3x^{2}-3 [/mm] wenn ich dort [mm] x_{1} [/mm] einsetzte [mm] y_{1} [/mm] = 1 und [mm] y_{2} [/mm] = -6
wenn ich [mm] f_{y}(x,y) [/mm] = 0 setze bekomme ich heraus:
für y: y= [mm] \bruch{x^{2}-3}{2}
[/mm]
und für x: [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \wurzel{2y+3} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{2y+3}
[/mm]
stimmt dies soweit ?
lg Surfer
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> Also meine Ableitungen sind ja:
>
> [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = [mm]-3x^{2}y+y^{2}+3y[/mm]
> [mm]f_{y}(x,y)[/mm] = [mm]-x^{3}+2yx+3x[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y)[/mm] = -6xy
> [mm]f_{yy}(x,y)[/mm] = 2
>
> wenn ich [mm]f_{x}(x,y)[/mm] = 0 setze bekomme ich heraus:
> für x: [mm]x_{1}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{y+3}{4}}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] =
> [mm]-\wurzel{\bruch{y+3}{4}}[/mm]
Hallo,
das irritiert mich jetzt...
Ich hatte doch schon erklärt, wie man aus [mm] f_x=0 (x^2=\bruch{y+3}{3} [/mm] oder y=0) erhält. (?)
Mit diesen Ergebnissen kannst Du wie bereits erwähnt in [mm] f_y=0 [/mm] <==> [mm] 0=-x(x^2-2y-3) [/mm] gehen.
1:Fall: [mm] x=\wurzel{\bruch{y+3}{3}} [/mm] (eins der möglichen ikse, die man aus [mm] f_x=0 [/mm] erhalten hat)
Einsetzen in [mm] 0=f_y=-x(x^2-2y-3) [/mm] ergibt
[mm] 0=-\wurzel{\bruch{y+3}{3}}(\bruch{y+3}{3}-2y-3) =-\wurzel{\bruch{y+3}{3}}(\bruch{-5y-6}{3})
[/mm]
==> y=-3 oder [mm] y=\bruch{-6}{5}
[/mm]
Zu y=-3 gehört [mm] x=\wurzel{\bruch{-3+3}{3}}=0, [/mm] also ist ein kritischer Punkt (0,-3)
Zu [mm] y=\bruch{-6}{5} [/mm] gehört [mm] x=\wurzel{\bruch{\bruch{-6}{5}+3}{3}} =\wurzel{\bruch{3}{5}} [/mm] ,
also ist [mm] (\wurzel{\bruch{3}{5}}, \bruch{-6}{5}) [/mm] ein weiterer kritischer Punkt.
Nun Fall 2: [mm] x=-\wurzel{\bruch{y+3}{3}} [/mm] (eins der möglichen ikse, die man aus [mm] f_x=0 [/mm] erhalten hat)
Auch dies einsetzen in [mm] f_y=0
[/mm]
Dann Fall 3: y=0 (eines der Resultate aus der Untersuchung der ersten Gleichung)
Einsetzen in [mm] f_y=0 [/mm] und die zu y passenden ikse errechnen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Fr 30.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Wie kann ich denn noch rechnen, damit ich auf die Lösung y=0 komme, wenn ich es nicht so sehe wie du? kannst du mal rechnerisch nach y auflösen?
wäre dir sehr dankbar!
lg Surfer
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Hallo,
[mm] 0=-3yx^{2}+y^{2}+3y
[/mm]
[mm] 0=-3y(x^{2}-\bruch{y}{3}-1)
[/mm]
Angela hat hier den Satz vom Nullprodukt benutz:
1. Faktor: -3y=0 daraus folgt y=0 (da gibt es doch nichts zu "rechnen")
2. Faktor: [mm] x^{2}-\bruch{y}{3}-1=0 [/mm] daraus folgt [mm] x^{2}=\bruch{y+3}{3}
[/mm]
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> Wie kann ich denn noch rechnen, damit ich auf die Lösung
> y=0 komme, wenn ich es nicht so sehe wie du?
Hallo,
ich hatte Dir weiter oben schon gesagt, daß Du mit "Deiner" Methode auch zum Ziel kommst, wenn Du sie korrekt durchführst.
Du löst ja nach [mm] x^2 [/mm] auf. und im Zuge dieser Maßnahme dividierst Du durch y. Das darfst Du nur, wenn [mm] y\not=0 [/mm] ist! Notiere also: [mm] x^2=... [/mm] für [mm] y\not=0 [/mm] und untersuche y=0 getrennt.
Beim Dividieren mußt Du das generell bedenken. Dividierst Du irgendwo durch [mm] x^6+37x^5-2x+12, [/mm] so mußt Du sicherstellen, daß das niemals Null wird. Die Fälle, für die da Null wird, mußt Du ausschließen und gesondert abarbeiten.
Im Prinzip ist das dasselbe, was ich bei meiner Zerlegung in Produkte tue.
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