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| Aufgabe | A cable of a suspension bridge has its supports at the same level, at a distance L feet apart. The supports are a feet higher than the minimum point of the cable.If the weight of the cable is negligible but the bridge has a uniform weight of w pounds per foot show that
(a) the tension in the cable at its lowest point is [mm] \bruch{wL^2}{8a} [/mm] pounds;
(b) the tension at the supports is [mm] \bruch{wL}{8a}\sqrt{L^2+16a^2} [/mm] pounds. |
Hallo,
ich komme bei Aufgabe (b) nicht weiter.
zu (a):
ich habe mir da eine linke Seilhälfte gemalt. Am Scheitelpunkt weist die horizontale Kraft H nach rechts, etwa in der Mitte des Kabels die Gewichtskraft W(x) nach unten, die Kraft an der Aufhängung links oben ist T.
Nun ist [mm] W(x)=T*sin(\theta) [/mm] und [mm] H=T*cos(\theta).
[/mm]
Dividiert durcheinander ergibt sich:
[mm] \bruch{W(x)}{H}=tan(\theta)=\bruch{dy}{dx}
[/mm]
Einmal differenzieren liefert
[mm] \bruch{d^2y}{dx^2}=\bruch{1}{H}*\bruch{dW(x)}{dx}
[/mm]
Nun ist [mm] \bruch{dW(x)}{dx}=const.=w [/mm] .
[mm] \bruch{d^2y}{dx^2}=\bruch{w}{H}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{w}{H}*x+C_{1}
[/mm]
y'(0)=0 ; [mm] C_1=0
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{w}{H}*x
[/mm]
[mm] y(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{w}{H}*x^2+C_2
[/mm]
Der Ursprung des Koordinatensystems liege im Scheitelpunkt. [mm] C_2=0.
[/mm]
[mm] y(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{w}{H}*x^2
[/mm]
[mm] y_{L/2}=\bruch{1}{8}*\bruch{w}{H}*L^2=a
[/mm]
[mm] H=\bruch{wL^2}{8a}
[/mm]
So. Über B habe ich gestern einige Stunden gebrütet - ohne Erfolg.
Ich hatte z. B.
[mm] w^2=T^2*sin^2(\theta) [/mm] und [mm] H^2=T^2*cos^2(\theta)
[/mm]
[mm] T^2=w^2+H^2=w^2+\bruch{w^2L^4}{64a^2}
[/mm]
[mm] T=w*\sqrt{1+\bruch{L^4}{64a^2}}
[/mm]
Oder
[mm] T^2=w^2+H^2=(H*tan(\theta))^2+H^2=H^2*((y'(x))^2+1)
[/mm]
[mm] =\bruch{w^2L^4}{64a^2}*\left(\bruch{w^2L^2}{H^2*4}+1\right)
[/mm]
[mm] T=\bruch{wL^2}{8a}*\sqrt{\bruch{w^2L^2}{H^2*4}+1}
[/mm]
Wenn jemand eine Idee hätte wäre ich sehr dankbar.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Martinius,
ich habe die Aufgabe erst jetzt entdeckt, wo ihre Fälligkeit
abgelaufen ist. Zuerst dachte ich mir, dass es bei der Kurve,
die die Form des Aufhängekabels beschreibt, um eine Ketten-
linie (mit cosh) gehe.
Da das Kabel ja aber eine gleichförmig über die Länge der
Brücke verteilte Last trägt (durch genügend viele vertikale
Spannseile übertragen), kann man aber bei der Tragseilkurve
von einer gewöhnlichen Parabel ausgehen, was du in deiner
Rechnung ja auch tust.
So bleibt eine relativ einfache statische Berechnung übrig.
Es interessieren nur die Spannkräfte an den Enden und in
der Mitte des Kabels. Die Spannkraft an einem Seilende ist
ein Kraftvektor [mm] \vec{F}, [/mm] der tangentiale Richtung hat und in
eine vertikale Komponente [mm] F_v [/mm] und eine horizontale Kompo-
nente [mm] F_h [/mm] zerlegt werden kann. Natürlich entspricht [mm] F_v [/mm] der
Gewichtskraft des Brückenabschnitts der Länge L/2, also ist
[mm] $\left|F_v\right|\ [/mm] =\ [mm] \frac{L*w}{2}$
[/mm]
Die Tangentensteigung im Kabelaufhängepunkt entspricht
dem Quotienten von Vertikal- und Horizontalkraft. Aus der
Gleichung
$\ [mm] y'(x)_{Aufhaengepunkt}\ [/mm] =\ [mm] \frac{F_v}{F_h}$
[/mm]
kann man die Horizontalkraft [mm] F_h [/mm] berechnen, welche nach
Newton "actio = reactio" auch der Spannkraft im Kabel-
mittelpunkt entsprechen muss.
Der Betrag der Gesamtspannkraft des (halben) Kabels an
seinem Kabelaufhängepunkt oben am Mast wird nach Pytha-
goras aus [mm] F_v [/mm] und [mm] F_h [/mm] berechnet.
(P.S. ich habe deine Rechnungen gar nicht im Detail
durchgesehen ...)
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Sa 29.05.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al-Chwarizmi,
manchmal sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, insonderheit wenn ich zu später Stunde die elementarsten Zusammenhänge nicht mehr auf die Reihe bekomme.
Besten Dank für deine Mühwaltung!
Die horizontale Kraft in der Mitte des Kabels (aus Aufgabe a)) ist also:
[mm] F_h=\bruch{wL^2}{8a}
[/mm]
Die vertikale Kraft an der Aufhängung ist das halbe Kabelgewicht:
[mm] F_v=\bruch{L}{2}*w
[/mm]
Dann der Pythagoras:
[mm] T^2=\left(\bruch{wL^2}{8a}\right)^2+\left(\bruch{L}{2}*w\right)^2
[/mm]
[mm] T^2=\left(\bruch{w^2L^4}{64a^2}\right)+\left(\bruch{L^2w^2*16a^2}{64a^2}\right)
[/mm]
[mm] T=\bruch{wL}{8a}*\sqrt{L^2+16a^2}
[/mm]
Nochmals vielen Dank,
Martinius
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ........
>
> Die horizontale Kraft in der Mitte des Kabels (aus Aufgabe
> a)) ist also:
>
> [mm]F_h=\bruch{wL^2}{8a}[/mm]
>
> Die vertikale Kraft an der Aufhängung ist das halbe
> Kabelgewicht:
>
> [mm]F_v=\bruch{L}{2}*w[/mm]
es geht nicht um das Gewicht des Kabels (dieses soll ja
vernachläßigt werden), sondern um das desjenigen Teils
der Brückenlast, welches von dem Kabelabschnitt
getragen werden soll
> Dann der Pythagoras:
>
> [mm]T^2=\left(\bruch{wL^2}{8a}\right)^2+\left(\bruch{L}{2}*w\right)^2[/mm]
>
> [mm]T^2=\left(\bruch{w^2L^4}{64a^2}\right)+\left(\bruch{L^2w^2*16a^2}{64a^2}\right)[/mm]
>
>
> [mm]T=\bruch{wL}{8a}*\sqrt{L^2+16a^2}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Korrekt.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 So 30.05.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al-Chwarizmi,
> > Hallo Al-Chwarizmi,
> >
> > ........
> >
> > Die horizontale Kraft in der Mitte des Kabels (aus Aufgabe
> > a)) ist also:
> >
> > [mm]F_h=\bruch{wL^2}{8a}[/mm]
> >
> > Die vertikale Kraft an der Aufhängung ist das halbe
> > Kabelgewicht:
> >
> > [mm]F_v=\bruch{L}{2}*w[/mm]
>
> es geht nicht um das Gewicht des Kabels (dieses soll ja
> vernachläßigt werden), sondern um das desjenigen
> Teils
> der Brückenlast, welches von dem Kabelabschnitt
> getragen werden soll
Ja, das ist mir heute morgen auch durch den Kopf gegangen. Ansonsten hätte ich ja die Bogenlänge s verwenden müssen.
[mm] s=\sqrt{1+(y')^2}
[/mm]
> > Dann der Pythagoras:
> >
> >
> [mm]T^2=\left(\bruch{wL^2}{8a}\right)^2+\left(\bruch{L}{2}*w\right)^2[/mm]
> >
> >
> [mm]T^2=\left(\bruch{w^2L^4}{64a^2}\right)+\left(\bruch{L^2w^2*16a^2}{64a^2}\right)[/mm]
> >
> >
> > [mm]T=\bruch{wL}{8a}*\sqrt{L^2+16a^2}[/mm]
>
>
> Korrekt.
>
>
> LG Al-Chw.
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| Aufgabe 1 | B-Exercises
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3. A cable has constant density w pounds per foot and is hung from two supports which are at the same level L feet apart. If the tension at the lowest point of the cable is H pounds, show that the tension in the cable at the supports is given, in pounds, by [mm] H*cosh\left(\bruch{wL}{2H}\right).
[/mm]
4. Show that the total weight of the cable in Exercise 3 is [mm] 2*H*sinh\left(\bruch{wL}{2H} \right). [/mm] |
| Aufgabe 2 | C-Exercises
1. A cable P feet long has a constant density w pounds per foot. It is hung from supports which are at the same level a distance L feet apart. The supports are a feet higher than the lowest point of the cable. Show that the tension H at the lowest point of the cable is given by
[mm] H=\bruch{wL}{2*ln\left[(P+2a)/(P-2a)\right]} [/mm] |
Hallo,
bei Aufgabe 1. (C-Exercises) finde ich keinen Ansatz.
Aufgabe 4:
[mm] \int ds=\int \wurzel{1+(y')^2}dx
[/mm]
[mm] \int ds=\int \wurzel{1+sinh^2\left(\bruch{w}{H}x\right)}dx
[/mm]
[mm] s=\int cosh\left(\bruch{w}{H}x\right)
[/mm]
[mm] s=\bruch{H}{w}sinh\left(\bruch{w}{H}x\right)+C [/mm] C=0
[mm] s(x=L/2)=\bruch{H}{w}sinh\left(\bruch{wL}{2H}\right)
[/mm]
halbe Seillänge
[mm] W=w*2*s(x=L/2)=2*H*sinh\left(\bruch{wL}{2H}\right) [/mm]
Aufgabe 3:
[mm] T^2=F^2_v+F^2_h=W^2+H^2
[/mm]
[mm] T=\wurzel{W^2+H^2}=\wurzel{(w*s)^2+H^2}
[/mm]
[mm] T=\wurzel{H^2*sinh^2\left(\bruch{wL}{2H} \right)+H^2}
[/mm]
[mm] T=H*\wurzel{sinh^2\left(\bruch{wL}{2H} \right)+1}
[/mm]
[mm] T=H*cosh\left(\bruch{wL}{2H}\right)
[/mm]
Aufgabe 1.
Ich habe einmal die Lösung umgeformt zu:
[mm] \bruch{P+2a}{P-2a}=exp\left(\bruch{wL}{2H}\right)
[/mm]
Wenn jemand eine Idee hätte?
Vielen Dank,
Martinius
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Aha, das wären nun die Fragen zum massiven hängenden
Kabel (ohne Brücke daran), welche dann wirklich zur
Kettenlinie (beschrieben durch die cosh-Funktion) führen.
Was ich wirklich nicht begreifen kann: dass da immer noch
die so unpraktischen Maßeinheiten wie pounds und feet be-
nützt werden. Es wäre wirklich an der Zeit, die endlich mal
in die ewigen Jagdgründe zu befördern ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:57 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al,
ja, die Einheiten in diesem Buch über applied differential equations sind wirklich obsolet.
Ich hatte es auch antiquarisch erworben. Der bereits verstorbene Mathe-Prof. und Physiker hieß Murray Spiegel. Ich habe aber Freude an diesem Buch, weil es viele Anwendungsbeispiele aus z.B. der Biologie, Chemie, Physik, Ökonomie etc. bringt.
LG, Martinius
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> Hallo Al,
>
> ja, die Einheiten in diesem Buch über applied differential
> equations sind wirklich obsolet.
>
> Ich hatte es auch antiquarisch erworben. Der bereits
> verstorbene Mathe-Prof. und Physiker hieß Murray Spiegel.
> Ich habe aber Freude an diesem Buch, weil es viele
> Anwendungsbeispiele aus z.B. der Biologie, Chemie, Physik,
> Ökonomie etc. bringt.
>
> LG, Martinius
In diesem Fall ist alles klar. Professor Spiegel konnte ja
nichts dafür, in einem Land zu leben, das in Bezug auf
die Maßeinheiten die Zeichen der Zeit über mehr als 100
Jahre verschlafen hat ...
Und gewisse alte Bücher sind wirklich immer noch besser
(weil weniger überladen aber auf konkrete Bedürfnisse
zugeschnitten) als manches, was heute produziert wird.
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 So 06.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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