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| Aufgabe | Sei D [mm] \subset \IC [/mm] und [mm] \alpha [/mm] ein Häufungspunkt von D. Sei f: D [mm] \to \IC [/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie, dass dann folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) [mm] \limes_{z \rightarrow \alpha} [/mm] f(z) = a
(b) Für jede Folge [mm] (z_n)_{n \in \IN} \subset [/mm] D \ [mm] \{\alpha\} [/mm] mit [mm] z_n \to \alpha [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] existiert eine Teilfolge von [mm] (f(z_n))_{n \in \IN}, [/mm] welche nach a konvergiert. |
Hallo Forum
MODs: Falls ich das falsche Subforum wählte, bitte einfach verschieben. Ich habe es in die komplexe Analysis getan, weil da auch [mm] \IC [/mm] vorkommt ...
Ich wäre froh um jeden Ratschlag. Auch falls ihr noch Dinge wüsstet, die ich noch zusätzlich lesen sollte. Meine Versuche bisher:
(a) [mm] \gdw [/mm] f stetig im Punkt [mm] \alpha \gdw [/mm] f beschränkt im Punkt [mm] \alpha [/mm]
Nun weiss ich durch den Satz von Bolzano-Weierstrass, dass eine Teilfolge von f() in der Umgebung [mm] \alpha [/mm] konvergiert. Aber ich verstehe nicht ganz, wie zu zeigen ist, dass eine Teilfolge von [mm] (f_(z_n))_{n \in \IN} [/mm] nach a konvergieren soll.
Grüsse
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Hallo also ich bin nun etwas weiter. Mein Stand derzeit:
Aus (a) folgt (b):
Sei [mm] (z_n) [/mm] beliebige Folge [mm] \in [/mm] D [mm] \setminus \{ \alpha \} [/mm] mit [mm] z_n \to \alpha [/mm] fuer n [mm] \to \infty
[/mm]
[mm] \limes_{z\rightarrow\alpha} [/mm] f(z) = a [mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n) [/mm] = a
Da [mm] f(z_n) [/mm] konvergent, haben alle Teilfolgen von [mm] f(z_n) [/mm] den gleichen Grenzwert. Teilfolgen von [mm] f(z_n) [/mm] konvergieren nach a
Aus (b) folgt (a):
Da [mm] z_n \to \alpha [/mm] fuer n [mm] \to \infty [/mm] ist:
Sei a := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(z_n)_k [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow\alpha} f(z)_k
[/mm]
(dies sind Teilfolgen von [mm] (f(z_n)) [/mm] bzw. von f(z) .
Nun sind 2 Faelle zu unterscheiden:
f(z) konvergiert fuer z [mm] \to \alpha:
[/mm]
Wenn eine Folge konvergiert, konvergieren alle ihre Teilfolgen gegen den Grenzwert der Folge.
[mm] \Rightarrow \limes_{z\rightarrow\alpha} f(z)_k [/mm] = a [mm] \Rightarrow \limes_{z\rightarrow\alpha} [/mm] f(z) = a
f(z) divergiert fuer z [mm] \to \alpha:
[/mm]
....Hier meine Frage:
Wie zeige ich nun, dass f(z) nicht divergiert? Das folgt doch gar nicht aus (b)...?
Gruesse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 19.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Mi 17.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei D [mm]\subset \IC[/mm] und [mm]\alpha[/mm] ein Häufungspunkt von D. Sei
> f: D [mm]\to \IC[/mm] eine Abbildung. Zeigen Sie, dass dann folgende
> Aussagen äquivalent sind:
> (a) [mm]\limes_{z \rightarrow \alpha}[/mm] f(z) = a
(a) bedeutet doch gerade:
> Für jede Folge [mm](z_n)_{n \in \IN} \subset[/mm] D \ b
> [mm]\{\alpha\}[/mm] mit [mm]z_n \to \alpha[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} f(z_n) [/mm] = a$
Damit also
> (b) Für jede Folge [mm](z_n)_{n \in \IN} \subset[/mm] D \
> [mm]\{\alpha\}[/mm] mit [mm]z_n \to \alpha[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] existiert
> eine Teilfolge von [mm](f(z_n))_{n \in \IN},[/mm] welche nach a
> konvergiert.
zu (a) aequivalent ist, musst du sozusagen zeigen, dass aus "Teilfolge" bereits "ganze Folge" folgt.
Insbesondere: die Richtung (a) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (b) ist trivial.
Fuer die Richtung (b) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (a) nimmst du dir so eine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] mit [mm] $\lim z_n [/mm] = [mm] \alpha$. [/mm] Du musst jetzt zeigen [mm] $\lim f(z_n) [/mm] = a$.
Angenommen das gilt nicht. Dann gibt es eine Teilfolge [mm] $(z_{k_n})_n$ [/mm] mit [mm] $|f(z_{k_n}) [/mm] - a| > [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer ein kleines [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ -- weisst du warum?
Und dann kannst du mit (b) einen Widerspruch bekommen. Versuche das mal.
LG Felix
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