Häufungspunke/Monotonie... < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Di 12.04.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Folge [mm] a_{n} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] auf Monotonie, Beschränktheit, Häufungspunkte und Konvergenz. Geben sie gegebenfalls die Häufungspunkte und den Grenzwert an.
c) [mm] a_{n}=\bruch{1}{1+(-2)^{n}} [/mm] |
Hi
also erst mal zur Monotonie:
Reicht es da 3 Folgeglieder auszurechnen a1=-1 a2=1/5 a3=-1/7
und weil a1<a2 , a2>a3 ist [mm] a_{n} [/mm] nicht monoton? oder muss ich das mit einer anderen Methode beweisen? falls ja , wie??
Beschränktheit:
ich würde mal behaupten das die Folge [mm] a_{n} [/mm] nach unten durch -1 und nach oben durch 1 beschränkt ist.
kleine Begründung:
1.Fall: wenn n eine Gerade Zahl ist n=2k,
dann : [mm] \bruch{1}{1+2^{2k}} [/mm] <= 1 , weil [mm] 2^{2k} [/mm] >= 0 ist.
kann man das so begründen? ich fühl mich da schon ziemlich unsicher...
weil auf die 1 kann man ja eigentlich nur kommen wenn [mm] 2^{2k} [/mm] =0 ist.. aber wann ist das denn der Fall ? das kapier ich grad leider nicht so richtig.
2.Fall: wenn n= 2k+1 also ungerade ist,
dann [mm] \bruch{1}{1-2^{2k+1}} [/mm] >= [mm] \bruch{1}{1-2} [/mm] = -1
wie könnte man das besser zeigen oder gibts da noch ein allgemeins geschicktes/einfaches Verfahren?
Häufungspunkte:
also da hab ich am wenigstens Anhung bisher...
falls n gerade ist , dann geht [mm] a_{n} [/mm] gegen 0 ... soviel kann ich noch sagen^^ dass ist dann doch der GRenzwert und der einzige Häufungspunkt oder? oder wie bekomm ich die Häufungspunkte raus?
Danke schon mal
Gruß Roffel
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Hallo Roffel!
Ich würde hier von Anfang an in zwei Teilfolgen für [mm]2k_[/mm] bzw. [mm]2k+1_[/mm] unterscheiden und beide Teilfolgen separat untersuchen.
> also erst mal zur Monotonie:
> Reicht es da 3 Folgeglieder auszurechnen a1=-1 a2=1/5
> a3=-1/7
> und weil a1<a2 ,="" a2="">a3 ist [mm]a_{n}[/mm] nicht monoton? oder muss
> ich das mit einer anderen Methode beweisen? falls ja , wie??
Das reicht m.E. nicht aus, da z.B. ab dem 1000. Glied Monotonie auftreten könnte.
Berechne hier [mm]a_{n+1}-a_n[/mm] bzw. [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm] oder argumentiere über die Vorzeichen der beiden Teilfolgen.
> Beschränktheit:
> ich würde mal behaupten das die Folge [mm]a_{n}[/mm] nach unten
> durch -1 und nach oben durch 1 beschränkt ist.
> kleine Begründung:
Das stimmt. Auch wenn die kleinste obere Schranke [mm]+\bruch{1}{5}[/mm] beträgt.
> 1.Fall: wenn n eine Gerade Zahl ist n=2k,
> dann : [mm]\bruch{1}{1+2^{2k}}[/mm] <= 1 , weil [mm]2^{2k}[/mm] >= 0 ist.
> kann man das so begründen?
Für was soll das eine Begründung sein? Dann hättest Du für diese Teilfolge aber auch die Monotonie zeigen müssen.
> 2.Fall: wenn n= 2k+1 also ungerade ist,
> dann [mm]\bruch{1}{1-2^{2k+1}}[/mm] >= [mm]\bruch{1}{1-2}[/mm] = -1
Siehe oben.
> Häufungspunkte:
>
> also da hab ich am wenigstens Anhung bisher...
> falls n gerade ist , dann geht [mm]a_{n}[/mm] gegen 0 ... soviel
> kann ich noch sagen^^ dass ist dann doch der GRenzwert und
> der einzige Häufungspunkt oder? oder wie bekomm ich die
> Häufungspunkte raus?
Betrachte und ermittle die Grenzwerte beider Teilfolgen.
Gruß vom
Roadrunner
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