Häufungspunkt einer Menge M < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Mi 17.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
ich habe eine kurze Frage zu Häufungspunkten von Mengen $\ M [mm] \subset \IR [/mm] $.
Undzwar heißt es :
"Wir nennen $\ [mm] \xi [/mm] $ einen Häufungspunkt der Menge $\ M [mm] \subset \IR [/mm] $, wenn es eine Folge $\ [mm] (x_n) [/mm] $ gibt, die gegen $\ [mm] \xi [/mm] $ konvergiert, deren Glieder aber alle $\ [mm] \not= \xi [/mm] $ sind. "
Meine Frage: Das gilt doch aber für jede nicht-konstante Folge $\ [mm] (x_n) [/mm] $ aus $\ [mm] \IR [/mm] $, oder nicht? Gibt es noch weitere ?
Freue mich über eine Antwort.
Grüße
ChopSuey
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 20:54 Mi 17.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich habe eine kurze Frage zu Häufungspunkten von Mengen [mm]\ M \subset \IR [/mm].
>
> Undzwar heißt es :
>
> "Wir nennen [mm]\ \xi[/mm] einen Häufungspunkt der Menge [mm]\ M \subset \IR [/mm],
> wenn es eine Folge [mm]\ (x_n)[/mm] gibt, die gegen [mm]\ \xi[/mm]
> konvergiert, deren Glieder aber alle [mm]\ \not= \xi[/mm] sind. "
Hallo,
dieser Aussage möchte ich widersprechen.
Sei M die Menge aller reellen Zahlen [mm] -1\le x\le [/mm] 1. Die Folge [mm] (\bruch{1}{n}*sin\bruch{\pi}{4}) [/mm] liegt in dieser Menge und konvergiert gegen Null. Nach anderen Definitionen hat man einen Häufungspunkt, wenn in JEDER [mm] \epsilon- [/mm] Umgebung unendlich viele Elemente liegen. Das ist hier der Fall. Trotzdem ist es möglich, dass -so wie hier- einige Folgenglieder den Wert des Häufungspunktes auch real annehmen.
Gruß Abakus
>
> Meine Frage: Das gilt doch aber für jede nicht-konstante
> Folge [mm]\ (x_n)[/mm] aus [mm]\ \IR [/mm], oder nicht? Gibt es noch weitere
> ?
>
> Freue mich über eine Antwort.
> Grüße
> ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:56 Mi 17.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> > "Wir nennen [mm]\ \xi[/mm] einen Häufungspunkt der Menge [mm]\ M \subset \IR [/mm],
>
> > wenn es eine Folge [mm]\ (x_n)[/mm] gibt, die gegen [mm]\ \xi[/mm]
> >
> konvergiert, deren Glieder aber alle [mm]\ \not= \xi[/mm] sind. "
Das ist wohl so gemeint, dass die alle [mm] $x_n\in [/mm] M$ liegen.
> dieser Aussage möchte ich widersprechen.
> Sei M die Menge aller reellen Zahlen [mm]-1\le x\le[/mm] 1. Die
> Folge [mm](\bruch{1}{n}*sin\bruch{\pi}{4})[/mm] liegt in dieser
> Menge und konvergiert gegen Null. Nach anderen Definitionen
> hat man einen Häufungspunkt, wenn in JEDER [mm]\epsilon-[/mm]
> Umgebung unendlich viele Elemente liegen.
Die beiden Definitionen sind äquivalent.
> Das ist hier der
> Fall.
Ja.
> Trotzdem ist es möglich, dass -so wie hier- einige
> Folgenglieder den Wert des Häufungspunktes auch real
> annehmen.
Das ist für diese Folge nicht der Fall. Vielleicht hast du dich vertippt und meintest eine andere Folge? In jedem Fall gibt es bei diesem und bei jedem Häufungspunkt [mm] $\xi$ [/mm] einer Menge M eine Folge von Zahlen ungleich [mm] $\xi$ [/mm] aus M, die gegen [mm] $\xi$ [/mm] konvergiert.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 Do 18.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> "Wir nennen [mm]\ \xi[/mm] einen Häufungspunkt der Menge [mm]\ M \subset \IR [/mm],
> wenn es eine Folge [mm]\ (x_n)[/mm] gibt, die gegen [mm]\ \xi[/mm]
> konvergiert, deren Glieder aber alle [mm]\ \not= \xi[/mm] sind. "
>
> Meine Frage: Das gilt doch aber für jede nicht-konstante
> Folge [mm]\ (x_n)[/mm] aus [mm]\ \IR [/mm], oder nicht? Gibt es noch weitere
??? Jede nicht-konstante Folge soll automatisch gegen [mm] $\xi$ [/mm] konvergieren und alle Folgenglieder in M liegen? Das meintest du nicht, oder?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Tobias,
> Hallo,
>
> > "Wir nennen [mm]\ \xi[/mm] einen Häufungspunkt der Menge [mm]\ M \subset \IR [/mm],
>
> > wenn es eine Folge [mm]\ (x_n)[/mm] gibt, die gegen [mm]\ \xi[/mm]
> >
> konvergiert, deren Glieder aber alle [mm]\ \not= \xi[/mm] sind. "
> >
> > Meine Frage: Das gilt doch aber für jede nicht-konstante
> > Folge [mm]\ (x_n)[/mm] aus [mm]\ \IR [/mm], oder nicht? Gibt es noch weitere
> ??? Jede nicht-konstante Folge soll automatisch gegen [mm]\xi[/mm]
> konvergieren und alle Folgenglieder in M liegen? Das
> meintest du nicht, oder?
Nein, nein.
Es heißt doch eine Folge $\ [mm] (x_n) [/mm] $ aus M konvergiert gegen $\ [mm] \xi \in [/mm] M $ und alle Folgenglieder sind $\ [mm] \not= \xi [/mm] $.
Aber genau das gilt doch für alle Folgen, die nicht konstant sind. Also dass alle Folgenglieder $\ [mm] \not= \lim x_n [/mm] = [mm] \xi [/mm] $ sind. Oder bring ich jetzt Dinge durcheinander?
>
> Viele Grüße
> Tobias
Grüße
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Do 18.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Es heißt doch eine Folge [mm]\ (x_n)[/mm] aus M konvergiert gegen
> [mm]\ \xi \in M[/mm] und alle Folgenglieder sind [mm]\ \not= \xi [/mm].
>
> Aber genau das gilt doch für alle Folgen, die nicht
> konstant sind. Also dass alle Folgenglieder [mm]\ \not= \lim x_n = \xi[/mm]
> sind.
Du scheinst etwas anderes zu meinen als du schreibst. Meinst du vielleicht, dass alle nicht konstanten Folgen von Zahlen aus M, die gegen [mm] $\xi$ [/mm] konvergieren, nur Folgenglieder ungleich [mm] $\xi$ [/mm] haben?
Das stimmt nicht. Beispiel: Die durch [mm] $x_n:=\begin{cases} 1/n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 0, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}$ [/mm] erklärte Folge ist nicht konstant, konvergiert gegen [mm] $\xi:=0$, [/mm] alle Folgenglieder liegen in [mm] $M:=\IR$ [/mm] und nicht alle Folgenglieder sind ungleich $0$.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:38 Do 18.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hi Tobias,
vielen Dank.
Ich hab tatsächlich etwas anderes gemeint, als ich schrieb. Sollte erstmal 'ne Pause machen 
Grüße
ChopSuey
|
|
|
|
