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Häufungspunkte: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Di 15.05.2018
Autor: Takota

Aufgabe
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} cos(k/\pi) [/mm] ; [mm] k\not\in \IZ [/mm]

Hallo,

kann mir bitte jemand zeigen, wie man hier auf den Grenzwert, bzw., Teilfolgen und Häufungspunkte kommt.

Ich habe zwar schon ein paar Aufgaben ähnlichen Typs gelöst, dort stand aber bisher immer das [mm] \pi [/mm] nicht im Nenner. Ich weiß nicht, wie ich hier Teilfolgen bilden kann ?

LG
Takota

        
Bezug
Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:30 Di 15.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

wähle als "Testfolge" mal diese mit Folgenglieder [mm] $x_k [/mm] = [mm] k\pi^2 \not\in\IZ$. [/mm]

Dann [mm] $x_k \to \infty$, [/mm] aber ...

edit: Da fällt mir auf, die redest auch von Häufungspunkten. Möchtest du nur wissen, ob der Grenzwert existiert? Oder möchtest du die Häufungspunkt der Folge wissen für fixes $k$?
Oder oder oder… so klar ist die Frage nämlich nicht.

Gruß,
Gono

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Häufungspunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Di 15.05.2018
Autor: Takota

Entschuldigung, es muß heißen: ..... [mm] k\in \\IN [/mm]

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Häufungspunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Di 15.05.2018
Autor: Takota

Hallo Gono,

a) Es soll geprüft werden, ob die Folge konvergiert oder divergiert.
b) Falls konvergent, wie lautet der Grenzwert?
c) Falls divergent, was sind die Häufungspunkte?

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Häufungspunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:53 Mi 16.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

also die Aufgabe ist alles andere als trivial!
Zumindest Teile der Aufgabe.

> Hallo Gono,
>  
> a) Es soll geprüft werden, ob die Folge konvergiert oder divergiert.

Das ist relativ einfach… was ist deine Vermutung und wieso gilt das?

>  b) Falls konvergent, wie lautet der Grenzwert?

Nach a) ein Klacks

>  c) Falls divergent, was sind die Häufungspunkte?

Die Frage ist knackig… und da wüsste ich gern mal, was da eure "offizielle" Lösung für ist.

Gruß,
Gono

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Häufungspunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Mi 16.05.2018
Autor: Takota

Hallo Gono,

die Aufgabe ist eigentliche eine Teilaufgabe und hat mit Folgen von Vektoren im [mm] \IR^n [/mm] zu tun.

Hier die orginal Aufgabenstellung:

Untersuchen Sie die Folge im [mm] \IR^2 [/mm] auf Konvergenz.

[mm] \vec x_k := \vektor{cos(k/\pi \\ sin(k/\pi)} [/mm]

Lösung:

Die Folge [mm] (\vec x_k)_{ k\in\IN} [/mm] ist divergent, weil die Grenzwerte der Komponentenfolgen nicht existieren.

Leider steht in der Lösung nicht, wie man auf die Aussage der Lösung kommt.

Bezug
                                        
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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Mi 16.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die Folge [mm](\vec x_k)_{ k\in\IN}[/mm] ist divergent, weil die
> Grenzwerte der Komponentenfolgen nicht existieren.

Das stimmt erst mal…

> Leider steht in der Lösung nicht, wie man auf die Aussage
> der Lösung kommt.

Da gibt es mehrere Möglichkeiten… mir fallen aber aktuell auch nur sehr technische Beweise ein.
Einen kann ich dir mal aufschreiben, wenn du ihn wirklich brauchst… wichtiger wäre aber wohl eher DEIN Verständnis, warum das so ist.

Mach dir dafür mal eine Skizze der Folge [mm] $x_k [/mm] = [mm] \cos\left(k\frac{1}{\pi}\right)$ [/mm] indem du den Kosinus zeichnest und dann am Graphen mal die Stellen [mm] $0,\frac{1}{\pi},\frac{2}{\pi},\ldots$ [/mm] markierst.

Du "springst" also den Graphen in Schritten der Länge [mm] $\frac{1}{\pi}$ [/mm] entlang. Die Folge wäre jetzt nur konvergent, wenn der Abstand der Funktionswerte immer kleiner werden würde und gegen Null geht.
Aber gerade auf den Schrägen des Graphen bleibt der Abstand immer recht groß und geht nicht gegen Null.

Gruß,
Gono

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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Mi 16.05.2018
Autor: fred97

Ich betrachte die Folgen [mm] $x_n:= \cos(n) [/mm] $ und [mm] $y_n [/mm] := [mm] \sin [/mm] (n)$. Ich werde zeigen , dass beide divergieren.

(Die gleiche Argumentation zeigt, dass die Folgen $( [mm] \cos(n/ \pi)) [/mm] $ und $( [mm] \sin(n/ \pi)) [/mm] $ divergieren. Dieser Fall ist aber mehr Schreibarbeit und dazu bin ich zu faul.)

Mit der Matrix $A:= [mm] \pmat{ \cos(1) & - \sin(1) \\ \sin(1) & \cos(1) }$ [/mm] und den Additionstheoremen sieht man:

(1)   [mm] $\vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=A \vektor{x_n \\ y_n}$. [/mm]

Wir nehmen an, [mm] (y_n) [/mm] wäre konvergent. Löst man die zweite Gleichung in (1) nach [mm] x_n [/mm] auf und setzt das in die erste Gleichung von (1) ein, so sieht man:

(2)  [mm] $x_{n+1}=a y_n+ [/mm] b [mm] y_{n+1}$ [/mm]

mit von $n$ unabhängigen Konstanten a und b. Die leichte Rechnung bleibt dem Leser überlassen. Wie a und b genau aussehen ist schnuppe. Wichtig ist nur, dass (2) zeigt: [mm] (x_n) [/mm] ist ebenfalls konvergent.

Genauso sieht man: ist [mm] (x_n) [/mm] konvergent, so auch [mm] (y_n). [/mm]

Fazit: [mm] (x_n) [/mm] konvergiert [mm] \gdw (y_n) [/mm] konvergiert.

Nun nehmen wir an, dass eine der beiden Folgen konvergiert. Damit konvergieren beide.

Sei $x:= [mm] \lim_{n \to \infty}x_n$ [/mm] und  $y:= [mm] \lim_{n \to \infty}y_n$. [/mm]

Aus [mm] $x_n^2+y_n^2=1$ [/mm] für alle n bekommen wir [mm] x^2+y^2=1, [/mm] also insbesondere [mm] \vektor{x \\ y} \ne \vektor{0 \\ 0}. [/mm]

Weiter ergibt sich aus (1) , mit $n [mm] \to \infty$, [/mm] die Gleichung

[mm] $\vektor{x \\ y}=A \vektor{x \\ y}$. [/mm]

Damit ist  1 ein Eigenwert von A und [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ein zugehöriger Eigenvektor.

Das ist aber Unfug, denn A ist eine Drehmatrix mit Drehwinkel 1 (im Bogenmaß) und damit hat A sicher nicht den Eigenwert 1.

Folglich haben wir einen prima Widerspruch.

Nebenbei (für diejenigen, die sich mit Drehmatrizen nicht (gut) auskennen): eine $2 [mm] \times [/mm] 2$ - Drehmatrix mit Drehwinkel t hat die Eigenwerte

  [mm] $\cos(t) \pm \sqrt{- \sin^2 (t)}$. [/mm]

Reelle Eigenwerte hat diese Matrix nur, falls  [mm] $\sin [/mm] (t)=0$, also falls $t=k [mm] \pi$ [/mm] ist mit einem $k [mm] \in \IZ$. [/mm]

Ist t nicht von dieser Gestalt, so hat die Drehmatrix nur komplexe, nicht reelle, Eigenwerte.

In obigem Fall ist t=1, damit hat A jedenfalls nicht den Eigenwert 1.




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Häufungspunkte: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mi 16.05.2018
Autor: Takota

Hallo Gono,

zu a)
Die cos Funktion ist ja beschränkt. Schranken sind 1 und -1.
D.h., doch, daß mindestens ein Häufungspunkt existieren muß (Bolzano-Weierstraß) - oder? Wenn es nur einen Häufungspunkt gibt, ist das auch der Grenzwert -oder?

Ich habe mal die Funktionswerte von $ [mm] cos(k/\pi) [/mm] $ graphisch angeschaut (Wie du es mir in der anderen Mitteilung empfohlen hast).
Die  Funktionswerte sind mal enger mal weiter auseinander. So liegt die Vermutung nahe das die Folge nicht konvergiert, also divergiert. Aber müßte man graphisch dann nicht auch mehere Häfungspunkte sehen?

LG
Takota

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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:41 Do 17.05.2018
Autor: fred97


> Hallo Gono,
>  
> zu a)
>  Die cos Funktion ist ja beschränkt. Schranken sind 1 und
> -1.
>  D.h., doch, daß mindestens ein Häufungspunkt existieren
> muß (Bolzano-Weierstraß) - oder? Wenn es nur einen
> Häufungspunkt gibt, ist das auch der Grenzwert -oder?
>
> Ich habe mal die Funktionswerte von [mm]cos(k/\pi)[/mm] graphisch
> angeschaut (Wie du es mir in der anderen Mitteilung
> empfohlen hast).
> Die  Funktionswerte sind mal enger mal weiter auseinander.
> So liegt die Vermutung nahe das die Folge nicht
> konvergiert, also divergiert. Aber müßte man graphisch
> dann nicht auch mehere Häfungspunkte sehen?
>  


Du hast offenbar meine Antwort nicht gelesen.  Hole das nach


> LG
>  Takota


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Häufungspunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:14 Do 17.05.2018
Autor: Takota

Hallo Fred,

danke für deine Ausführungen, die auch gelesen habe.

Falls ich da noch Rückfrage habe, würde ich mich nochmal bei dir melden.

Mich interessiert aber noch, was Gono zu meinen Fragen meint.

LG
Takota

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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Do 17.05.2018
Autor: fred97


> Hallo Gono,
>  
> zu a)
>  Die cos Funktion ist ja beschränkt. Schranken sind 1 und
> -1.
>  D.h., doch, daß mindestens ein Häufungspunkt existieren
> muß (Bolzano-Weierstraß) - oder? Wenn es nur einen
> Häufungspunkt gibt, ist das auch der Grenzwert -oder?
>
> Ich habe mal die Funktionswerte von [mm]cos(k/\pi)[/mm] graphisch
> angeschaut (Wie du es mir in der anderen Mitteilung
> empfohlen hast).
> Die  Funktionswerte sind mal enger mal weiter auseinander.
> So liegt die Vermutung nahe das die Folge nicht
> konvergiert, also divergiert. Aber müßte man graphisch
> dann nicht auch mehere Häfungspunkte sehen?

Die Folge ist beschränkt, aber divergent. Die Menge ihrer Häufungspunkte ist das Intervall $[-1,1]$. Versuch mal das zu beweisen. Einfach ist es nicht

>  
> LG
>  Takota


Bezug
                                        
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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:33 Do 17.05.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> zu a)
>  Die cos Funktion ist ja beschränkt. Schranken sind 1 und
> -1.
>  D.h., doch, daß mindestens ein Häufungspunkt existieren
> muß (Bolzano-Weierstraß) - oder?

Immer dieses "oder?".
Mathematik ist eindeutig. Sind die Voraussetzungen für Bolzano-Weierstraß erfüllt, gibt es einen Häufungspunkt!

>  Wenn es nur einen
> Häufungspunkt gibt, ist das auch der Grenzwert -oder?

Wieder dieses "oder?"… die Aussage stimmt.

> Ich habe mal die Funktionswerte von [mm]cos(k/\pi)[/mm] graphisch
> angeschaut (Wie du es mir in der anderen Mitteilung
> empfohlen hast).
> Die  Funktionswerte sind mal enger mal weiter auseinander.
> So liegt die Vermutung nahe das die Folge nicht
> konvergiert, also divergiert. Aber müßte man graphisch
> dann nicht auch mehere Häfungspunkte sehen?

Es ist oft schwierig Dinge zu "sehen", die man mathematisch beweisen kann. Wie fred schon sagte, ist die Menge der Häufungspunkte $[-1,1]$, der Beweis dazu ist aber alles andere als trivial!
Einfacher ist es "nur" zu zeigen, dass die Folge divergiert… daraus kann man dann schlussfolgern, dass es (mindestens) zwei Häufungspunkte geben muss. Aber ein Beweis, dass es mehr als zwei gibt, wäre das nicht… denn der Beweis ist, wie gesagt, happig.

Gruß,
Gono

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