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Häufungspunkte: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:53 Di 10.05.2011
Autor: Lesbia

Aufgabe
Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge [mm] a_{n} [/mm] := [mm] cos(n*\frac{\pi}{k} [/mm] ) mit [mm] k\in \mathbb [/mm] N

Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz. Womit sollte ich anfangen? Ein Häufungspunkt ist ja Grenzwert einer Teilfolge. Der Kosinus nimmt ja abwechselnd Werte zwischen 1 und -1 an. Das müssten dann auch die Häufungspunkte sein, aber wie komme ich rechnerisch darauf?


        
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Häufungspunkte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:05 Mi 11.05.2011
Autor: reverend

Hallo Lesbia,

die Aufgabe ist ein bisschen hinterlistig.

> Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge [mm]a_{n}[/mm] :=
> [mm]cos(n*\frac{\pi}{k}[/mm] ) mit [mm]k\in \mathbb[/mm] N
>  Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz. Womit sollte
> ich anfangen? Ein Häufungspunkt ist ja Grenzwert einer
> Teilfolge. Der Kosinus nimmt ja abwechselnd Werte zwischen
> 1 und -1 an. Das müssten dann auch die Häufungspunkte
> sein, aber wie komme ich rechnerisch darauf?

Nein, Häufungspunkt ist jeder Punkt x mit [mm] -1\le x\le1. [/mm]
Es ist zwar schwierig, zu einem solchen x eine Teilfolge zu finden, aber einfach ist es dagegen, zu zeigen, dass mindestens eine solche existiert.


edit: Quatsch. Ich habe das n im Nenner gesehen. War wohl doch schon zu spät; jedenfalls war ich unaufmerksam und das hier oben ist schlicht falsch. Pardon.

Grüße
reverend


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Häufungspunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:21 Mi 11.05.2011
Autor: Lesbia


> Nein, Häufungspunkt ist jeder Punkt x mit [mm]-1\le x\le1.[/mm]

Das verstehe ich nicht, wie kommst du darauf?

> Es
> ist zwar schwierig, zu einem solchen x eine Teilfolge zu
> finden, aber einfach ist es dagegen, zu zeigen, dass
> mindestens eine solche existiert.

Es existiert doch dann eine Teilfolge, wenn es einen Häufungspunkt gibt, oder? Aber wie zeige ich das. Diese Aufgabe überfordert mich um ehrlich zu sein.

Danke für deine Antwort.


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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:24 Mi 11.05.2011
Autor: leduart

Hallo
Fuer eine Folge ist k ja fest. bei k=1 hast du die HP 1 und -1 kannst du dann eine Teilfolge finden mit nur HP=1?
dann nimm k=3 oder k=5 oder k+1001 oder  k=... ,welche HP hast du jetzt? wie findest du ne konv. Teilfolge?
gruss leduart



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Häufungspunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Mi 11.05.2011
Autor: Lesbia


> Hallo
>  Fuer eine Folge ist k ja fest. bei k=1 hast du die HP 1
> und -1 kannst du dann eine Teilfolge finden mit nur HP=1?
>  dann nimm k=3 oder k=5 oder k+1001 oder  k=... ,welche HP
> hast du jetzt? wie findest du ne konv. Teilfolge?


Danke für deine Antwort.

Also nehmen wir mal die Teilfolge für k=1

[mm] b_{n} [/mm] := [mm] a_{2n} [/mm] = [mm] \cos(2n*\pi [/mm] ) =1

Für k=3

[mm] c_{n} [/mm] := [mm] a_{6n+1} [/mm] = [mm] \cos((6n+1)*\frac{\pi }{3} [/mm]  ) =0,5

Für k=5

[mm] d_{n} [/mm] := [mm] a_{10n+1} [/mm] = [mm] \cos((10n+1)*\frac{\pi }{5} [/mm]  ) [mm] \approx [/mm] 0,81

Stimmt das so?

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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Mi 11.05.2011
Autor: reverend

Hallo Lesbia,

wo ich gestern so'n Unsinn geschrieben habe (s.o., ist aber jetzt redigiert), hier doch mal eine richtige Rückmeldung:

> Also nehmen wir mal die Teilfolge für k=1
>  
> [mm]b_{n}[/mm] := [mm]a_{2n}[/mm] = [mm]\cos(2n*\pi[/mm] ) =1
>  
> Für k=3
>  
> [mm]c_{n}[/mm] := [mm]a_{6n+1}[/mm] = [mm]\cos((6n+1)*\frac{\pi }{3}[/mm]  ) =0,5
>  
> Für k=5
>  
> [mm]d_{n}[/mm] := [mm]a_{10n+1}[/mm] = [mm]\cos((10n+1)*\frac{\pi }{5}[/mm]  ) [mm]\approx[/mm]
> 0,81
>  
> Stimmt das so?

Ja, aber warum so kompliziert? Nimm doch einfach die Teilfolge [mm] (a_{2kn}). [/mm] Die hat immer den (Häufungs-)Wert 1.

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
Häufungspunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:11 Mi 11.05.2011
Autor: Lesbia


> Ja, aber warum so kompliziert? Nimm doch einfach die
> Teilfolge [mm](a_{2kn}).[/mm] Die hat immer den (Häufungs-)Wert 1.

Meinst du so?

$ [mm] b_{n} [/mm] $ := $ [mm] a_{2kn} [/mm] $ = $ [mm] \cos(2n\cdot{}\pi [/mm] $ ) =1

Muss man denn nicht immer zwischen  geradem und ungeradem k unterscheiden?

Danke.

Bezug
                                                        
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Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Mi 11.05.2011
Autor: reverend

Hallo,

> > Ja, aber warum so kompliziert? Nimm doch einfach die
> > Teilfolge [mm](a_{2kn}).[/mm] Die hat immer den (Häufungs-)Wert 1.
>  
> Meinst du so?
>  
> [mm]b_{n}[/mm] := [mm]a_{2kn}[/mm] = [mm]\cos(2n\cdot{}\pi[/mm] ) =1

Genau. [ok]

> Muss man denn nicht immer zwischen  geradem und ungeradem k
> unterscheiden?

Wieso? Das k steht im Nenner. Du verwechselst das vielleicht gerade mit [mm] \cos{(k\pi)}, [/mm] oder?

> Danke.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                
Bezug
Häufungspunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Mi 11.05.2011
Autor: Lesbia


> > Muss man denn nicht immer zwischen geradem und ungeradem k
> > unterscheiden?
>  
> Wieso? Das k steht im Nenner. Du verwechselst das
> vielleicht gerade mit [mm]\cos{(k\pi)},[/mm] oder?

hmm, ich hätte irgendwie gedacht dass ein gerader bzw. ungerader Nenner den Bruch verändert, aber gut :D

Jetzt muss ich wohl eine Teilfolge finden, die gegen -1 konvergiert, oder?

[mm] b_{n} [/mm]  :=  [mm] a_{(2n+1)k} [/mm]  =  [mm] \cos((2n+1)*\pi) [/mm] =  -1

Waren das nun alle?

Bezug
                                                                        
Bezug
Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Mi 11.05.2011
Autor: reverend

Hallo Lesbia,

> Jetzt muss ich wohl eine Teilfolge finden, die gegen -1
> konvergiert, oder?
>  
> [mm]b_{n}[/mm]  :=  [mm]a_{(2n+1)k}[/mm]  =  [mm]\cos((2n+1)*\pi)[/mm] =  -1

Soweit gut.

> Waren das nun alle?

Nein, Du hattest vorhin doch schon andere gefunden, z.B. für k=3 [mm] (a_{6k+1}). [/mm] Überleg mal, wo die Häufungspunkte liegen. Es gibt genau k+1 davon.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                                
Bezug
Häufungspunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Mi 11.05.2011
Autor: Lesbia

Sind die Häufungspunkte bei

[mm] d_{n} [/mm] :=  [mm] a_{2kn+1} [/mm]  =  [mm] \cos((2kn+1)\cdot{}\frac{\pi }{k}) =\cos(2n\pi+\frac{\pi }{k}) [/mm]

?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Mi 11.05.2011
Autor: reverend

Hall nochmal,


> Sind die Häufungspunkte bei
>  
> [mm]d_{n}[/mm] :=  [mm]a_{2kn+1}[/mm]  =  [mm]\cos((2kn+1)\cdot{}\frac{\pi }{k}) =\cos(2n\pi+\frac{\pi }{k})[/mm]
>
> ?

Das ist nur ein Häufungspunkt, aber immerhin ein anderer.

Schau Dir mal [mm] \cos{\left((2kn+a)*\\bruch{\pi}{k}\right)} [/mm] für [mm] a\in\IN, [/mm] 1<a<k und für k<a<2k an.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                                                
Bezug
Häufungspunkte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Do 12.05.2011
Autor: Lesbia


> Schau Dir mal [mm]\cos{((2kn+a)*\bruch{\pi}{k}}))[/mm]
> für [mm]a\in\IN,[/mm] 1<a<k und für k<a<2k an.

[mm] \cos{(2n*\pi+a*\bruch{\pi}{k}}) [/mm] geht fuer 1<a<k gegen -1 und fuer k<a<2k gegen 1. Stimmt das? Meine Frage ist aber nun wie du auf diesen Wert kommst. Die Funktion hat doch unendlich viele Haufungspunkte oder?

Danke

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Do 12.05.2011
Autor: reverend

Hallo Lesbia,

> > Schau Dir mal [mm]\cos{((2kn+a)*\bruch{\pi}{k}}))[/mm]
> > für [mm]a\in\IN,[/mm] 1<a<k und="" für="" k<a<2k="" an.<br="">>  

> [mm]\cos{(2n*\pi+a*\bruch{\pi}{k}})[/mm] geht fuer 1<a<k gegen="" -1="" <br="">> und fuer k<a<2k gegen="" 1.="" stimmt="" das?="" meine="" frage="" ist="" aber="" <br="">> nun wie du auf diesen Wert kommst.

Hm. Da stimmt was mit der Zitatfunktion nicht.
Naja, wir wissen ja, wies vorher aussah.
Deine Rechnung stimmt jedenfalls überhaupt nicht.

Setz doch mal k=5 ein und rechne nach für a=1,2,3,4,6,7,8,9 und meinetwegen gleich für a=5 und a=10 noch dazu.

> Die Funktion hat doch
> unendlich viele Haufungspunkte oder?

Nein, hat sie nicht. Wie ich schon schrieb, hat sie genau k+1 Häufungspunkte.

> Danke

Grüße
reverend
</a<2k></a<k></a<k>

Bezug
        
Bezug
Häufungspunkte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 Mi 11.05.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Bestimmen Sie die Häufungspunkte der Folge [mm]a_{n}[/mm] :=
> [mm]cos(n*\frac{\pi}{k}[/mm] ) mit [mm]k\in \mathbb[/mm] N
>  Leider finde ich überhaupt keinen Ansatz. Womit sollte
> ich anfangen? Ein Häufungspunkt ist ja Grenzwert einer
> Teilfolge. Der Kosinus nimmt ja abwechselnd Werte zwischen
> 1 und -1 an. Das müssten dann auch die Häufungspunkte
> sein, aber wie komme ich rechnerisch darauf?


Mach dir klar, dass die Folge periodisch ist und jeden
Wert, den sie überhaupt annimmt, unendlich oft annimmt.
Ferner sind dies jeweils (für ein bestimmtes k) nur endlich
viele diskrete Werte. Deshalb kommen keine anderen
Werte als Häufungspunkte in Frage.

LG   Al-Chw.  


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