Häufungspunkte 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Mi 09.01.2008 | | Autor: | Phecda |
hi ich hätte eine frage zu Häufungspunkten
ein bsp. ist
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/mathlife/teaching/ws0708/analysis/problems10.pdf
zweite seite Aufg 3
ok die beiden häufungspunkte 2 und 0 kann ich leicht finden mit epsilon kalkül, aber wie kann ich beweisen, dass es bis auf die beiden kein häufungspunkt gibt.
bzw. wie ist die allgemeine vorgehensweise bei limsup bzw. lim inf suche?
ok vielen dank für die hilfe
mfg
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> hi ich hätte eine frage zu Häufungspunkten
> ein bsp. ist
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> http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/mathlife/teaching/ws0708/analysis/problems10.pdf
> zweite seite Aufg 3
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> ok die beiden häufungspunkte 2 und 0 kann ich leicht finden
> mit epsilon kalkül, aber wie kann ich beweisen, dass es bis
> auf die beiden kein häufungspunkt gibt.
> bzw. wie ist die allgemeine vorgehensweise bei limsup bzw.
> lim inf suche?
Rein mechanische Verfahren gibt es wohl nicht. In Deinem Beispiel ist aber klar, dass die Folge der [mm] $a_n$ [/mm] sich in zwei konvergente Teilfolgen [mm] $a_{2n}$ [/mm] mit Limes $2$ und [mm] $a_{2n+1}$ [/mm] mit Limes $0$ disjunkt zerlegen lässt.
Gäbe es einen weiteren Häufungspunkt der Folge [mm] $a_n$, [/mm] so müsste es eine Teilfolge von [mm] $a_n$ [/mm] geben, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. Aber jede Teilfolge von [mm] $a_n$ [/mm] muss entweder unendlich viele Glieder der Form [mm] $a_{2n}$ [/mm] oder unendlich viele Glieder der Form [mm] $a_{2n+1}$ [/mm] besitzen. Im ersten Falle konvergiert sie notwendigerweise gegen $2$ im zweiten Falle konvergiert sie gegen $0$. Also muss der Häufungspunkt von [mm] $a_n$, [/mm] gegen den diese Teilfolge konvergiert, entweder $2$ oder $0$ sein. Somit sind $2$ und $0$ die einzigen Häufungspunkte der Folge [mm] $a_n$.
[/mm]
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