Häufungspunkte bestimmen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Di 03.05.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo alle zusammen!
Ich hab da mal ne Frage zum Thema Häufungspunkte. Und zwar war ich (tollerweise...*hmpf*) in der letzten Mathestunde, wo wir mit speziellen Folgen und Häufungsopunkten angefangen haben, nicht da, und wir haben eine Hausaufgabe auf. Das Prinzip generell bei diesesn Häufungspunkten hab ich verstanden, nur bei der deinen Aufgabe, das hakt es, bzw. ich hab ne Idee, weiß aber nicht, wie man das formulieren könnte.
Und zwar haben wir als Folge gegeben:
[mm] \bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},\bruch{1}{4},\bruch{2}{4},\bruch{3}{4},\bruch{1}{5},\bruch{2}{5},\bruch{3}{5},\bruch{4}{5},\bruch{1}{6},\bruch{2}{6},\bruch{3}{6},\bruch{4}{6},...
[/mm]
so und da nun Häufungspunkte rausfinden*überleg*
Also erstma hab ich mir gedahct, die Zaheln als Dezimalzahl aufzuschreiben, dann sieht man einfacher, den Wert der Zaheln, das sieht dann so aus :
[mm] \bruch{1}{2},\bruch{1}{3},\bruch{2}{3},\bruch{1}{4},\bruch{2}{4},\bruch{3}{4},\bruch{1}{5},\bruch{2}{5},\bruch{3}{5},\bruch{4}{5},\bruch{1}{6},\bruch{2}{6},\bruch{3}{6},\bruch{4}{6},...
[/mm]
0,5 ;0,333; 0,666; 0,25; 0,5; 0,75; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 0,16; 0,3333; 0,5; 0,4; 0,8333;...
da sieht man schonmal, dass es einmal in Richtung 1 geht (0,5;0,666;0,75;0,8;0,8333...)
dann einmal gegen 0 (0,3;0,25;0,2;0,16...)
ja und dann taucht noch 0,5 immer wieder auf und zwar das erste mal nah 4 schritten, dann liegen 8 Werte dazwischen, dann 12..., also da ist auch ein System dahinter(also n*4 -Schritte?)
Nur, wie kann ich das ausdrücken? kann ich sagen, dass 0 und 1 Häufungspunkte sind? und das geht ja immer von 0,5 aus. es sieht so aus, als ob alle n*4 schritte ein neues 0,5 auftaucht, und dann geht es jedes mal von neuem einmal gegen 0 und einmal gegen 1. stimmt das??? und wie kann ich das mathematisch korrekt aufschreiben?
Wäre super, wenn mir jemand dazu helfen kann!
Vielen Dank schonmal!
Viele Grüße, fuechsin :)
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Hallo!
Zur Lösung dieser Aufgabe solltest du dir zum einen bewußt machen, dass eine rationale Zahl, die einmal vorkam, auch immer wieder vorkommt, z.B.
[mm] $\bruch{1}{2},\bruch{2}{4},\bruch{3}{6},\dots...$
[/mm]
Auf diese Weise kommen alle rationalen Zahlen (also die Brüche) zwischen 0 und 1 immer wieder vor!
Und was ist mit den irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1?... Schließlich kann man die mit rationalen Zahlen annähern...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 03.05.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo!
ersteinmal danke für deine schnelle Antwort!
aber was hilft mir das jetzt genau für die Häufungspunkte? , du hast recht weil Brüche wie [mm] \bruch{1}{3} [/mm] tauchen ja auch immer wieder auf [mm] (\bruch{3}{9}...) [/mm] Aber gibt es dann Häufungpunkte? und ja, welche Zahlen liegen dazwischen hä, aber das was ich gesagt habe, das trifft doch auch zu, oder? ich werd daraus noch nciht so ganz schlau, weil, was nützt es mir zu wissen, dass sich Brüche immer wiederholen, dann nähert es sich doch irgednwie an nix an, sondern bleibt immer an der gleichen Stelle? Ich verstehst noch nicht so ganz :( vielleicht findet jemand noch einen anderen Tipp?Und mit Rationalen und Irrationalen Zahlen? na was nützt mir das, ich hab doch für diese Folge nur die Rationalen gegeben, klar liegen da noch welche dazwischen, aber die brauch ich doch nicht um die Häufungpunkte zu bestimmen, oder? ich verstricke mich immer wieder bei meinen Gedanken und komm trotzdem nicht auf Häufungspunkte außer 0 und 1???? :(
Wär Super, wenn noch jemand mir helfen kann!
Danke! Viele Grüße, fuechsin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:12 Di 03.05.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Inga,
eigentlich hat dir banachella schon alles gesagt was du wissen musst. Aber fassen wir nochmal zusammen. Für einen ![[]](/images/popup.gif) Häufungspunkt braucht mann ja eine konvergente Teilfolge. Die einfachste konvergente Folge ist ja eine konstante Folge [mm] $\left(a_n\right)_{n\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $a_n=a$ [/mm] (zB die Folge $1, 1, 1, 1, 1, [mm] \ldots$).
[/mm]
Jetzt hast du ja erkannt, dass immer wieder die gleichen rationalen Zahlen auftauchen, da kann man doch was machen 
Jetzt musst du mal überlegen, zu welchen Zahlen du so konstante (konvergierende) Teilfolgen angeben kannst.
Und danach kannst du dir ja noch einmal Gedanken machen, wie dass mit den irrationalen Zahlen im Intervall $[0; 1]$ ist.
Gruß Max
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