Häufungspunkte bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zeigen sie, die Folge hat zwei Häufungspunkte und ist damit divergent
[mm] a_{n+1}= cos\times \left( \bruch{1+n^2 \times \pi}{n} \right) [/mm] |
Hallo, ich habe bereits mit meiner Lerngruppe gerechnet, allerdings kann ich nun die Lösung nicht mehr ganz nachvollziehen. Wir haben zum ersten mal Häufungspunkte bestimmt.Kann mir jemand Hilfestellung dabei geben die Rechnung nachzuvollziehen ?
Unsere Rechnung als Schmierzettel (Siehe Bild)
die Häufungspunkte sind bei 1 und -1
Was ich bisher nachvollziehen kann, ist dass ich [mm] \left( \bruch{1}{n} \right) + n\times \pi [/mm] auseinander ziehe und die Teilfolge bilde.
wenn ich dann nur die[mm] n\times \pi [/mm] betrachte und jeweils n-gerade zahlen einsetze dann kommt nur 1 raus. Setze ich dann ungerade zahlen ein kommt -1 raus.
lasse ich dann [mm] \left( \bruch{1}{n} \right) [/mm] einfach außenvor und betrachte es garnicht ? weil da komt eben nicht 1 und -1 raus.
Allerdings wenn wir unten im letzten Schritt die Teilfolge gegen limes laufen lassen kommt dann cos(0) raus und dass ist ja wieder 1 bzw -1.
Prinzipiell verstehe ich nicht warum
cos(1/n) n-gerade
cos(1/n) n-ungerade in die klammer schreiben und nicht noch [mm]+n\times \pi[/mm] und ich verstehe auch garnicht woher unten (letzte Zeile[ siehe bild ]) ein minus vor dem Cosinus steht.
Oh man, ich hoffe das ist hier alles nicht ganz zu verwirrend geschrieben. Besten Gruß Paul.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Sa 16.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Zeigen sie, die Folge hat zwei Häufungspunkte und ist
> damit divergent
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> [mm]a_{n+1}= cos\times \left( \bruch{1+n^2 \times \pi}{n} \right)[/mm]
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> Hallo, ich habe bereits mit meiner Lerngruppe gerechnet,
> allerdings kann ich nun die Lösung nicht mehr ganz
> nachvollziehen. Wir haben zum ersten mal Häufungspunkte
> bestimmt.Kann mir jemand Hilfestellung dabei geben die
> Rechnung nachzuvollziehen ?
> Unsere Rechnung als Schmierzettel (Siehe Bild)
> die Häufungspunkte sind bei 1 und -1
>
> Was ich bisher nachvollziehen kann, ist dass ich [mm]\left( \bruch{1}{n} \right) + n\times \pi[/mm]
> auseinander ziehe und die Teilfolge bilde.
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> wenn ich dann nur die[mm] n\times \pi[/mm] betrachte und jeweils
> n-gerade zahlen einsetze dann kommt nur 1 raus. Setze ich
> dann ungerade zahlen ein kommt -1 raus.
> lasse ich dann [mm]\left( \bruch{1}{n} \right)[/mm] einfach
> außenvor und betrachte es garnicht ? weil da komt eben
> nicht 1 und -1 raus.
> Allerdings wenn wir unten im letzten Schritt die Teilfolge
> gegen limes laufen lassen kommt dann cos(0) raus und dass
> ist ja wieder 1 bzw -1.
> Prinzipiell verstehe ich nicht warum
> cos(1/n) n-gerade
> cos(1/n) n-ungerade in die klammer schreiben und nicht
> noch [mm]+n\times \pi[/mm] und ich verstehe auch garnicht woher
> unten (letzte Zeile[ siehe bild ]) ein minus vor dem
> Cosinus steht.
> Oh man, ich hoffe das ist hier alles nicht ganz zu
> verwirrend geschrieben. Besten Gruß Paul.
>
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Hallo,
es gilt [mm] cos($\pi)$=-1, cos($2\pi)$=1 [/mm] , [mm] cos($3\pi)$=-1, cos($4\pi)$=1 , cos($5\pi)$=-1 usw.
[/mm]
Im Ausdruck [mm] \bruch{1+n^2 * \pi}{n} =\bruch{1}{n} +n*\pi[/mm] geht der Summand 1/n gegen Null, sodass diese Werte mit wachsendem n immer näher an [mm] $n*\pi$ [/mm] liegen (und der Kosinus davon ist abwechselnd -1 und 1).
Gruß Abakus
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Hey super Dank für deine fixe Antwort. Leider muss ich nochmal etwas dümmlich nachfragen, da ich noch nicht ganz so vertraut mit in der Mathesprache bin. Wenn ich das richtig verstanden habe meinst du mit:
"sodass diese Werte mit wachsendem n immer näher an $ [mm] n\cdot{}\pi [/mm] $ liegen (und der Kosinus davon ist abwechselnd -1 und 1).
Gruß Abakus "
, dass wenn ich[mm]a_n[/mm] gegen Unendlich laufen lasse [mm] \left( \bruch{1}{n} \right) [/mm] zu Null wird und [mm] n\pi[/mm] nach und nach bis zur Unednlichkeit die Werte 1 und -1 an nimmt ? richtig ?
Aber wie erklärt sich dann auf meinem rechnungsblatt die letztes Zeile unten rechts mit dem lim an= -cos (1/n)=1
ich verstehe die schreibweise nicht. ist sie falsch ? und mit cos (0) = 1 hat das nichts zutuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Sa 16.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Hey super Dank für deine fixe Antwort. Leider muss ich
> nochmal etwas dümmlich nachfragen, da ich noch nicht ganz
> so vertraut mit in der Mathesprache bin. Wenn ich das
> richtig verstanden habe meinst du mit:
> "sodass diese Werte mit wachsendem n immer näher an
> [mm]n\cdot{}\pi[/mm] liegen (und der Kosinus davon ist abwechselnd
> -1 und 1).
> Gruß Abakus "
>
> , dass wenn ich[mm]a_n[/mm] gegen Unendlich laufen lasse [mm]\left( \bruch{1}{n} \right)[/mm]
> zu Null wird und [mm]n\pi[/mm] nach und nach bis zur Unednlichkeit
> die Werte 1 und -1 an nimmt ? richtig ?
>
> Aber wie erklärt sich dann auf meinem rechnungsblatt die
> letztes Zeile unten rechts mit dem lim an= -cos (1/n)=1
> ich verstehe die schreibweise nicht. ist sie falsch ? und
> mit cos (0) = 1 hat das nichts zutuen.
Hallo,
ich habe jetzt erst deinen Anhang angesehen.
Die Kosinusfunktion ist doch periodisch mit der Periode [mm]2\pi[/mm], es gilt also cos(x)=cos([mm]x+2\pi[/mm])= cos([mm]x+4\pi[/mm])=...,
also ist cos([mm]\frac1n[/mm])= cos([mm]\frac1n +2\pi[/mm]) = cos([mm]\frac1n+4\pi[/mm])..., und cos([mm]\frac1n[/mm])geht gegen 1.
Nun gelten für den Kosinus auch noch gewisse Quadrantenbeziehungen, nämlich
cos([mm]\pi-x[/mm])=-cos(x) und cos([mm]\pi+x[/mm])=-cos(x) .
Wegen der letztgenannten Beziehung ist insbesondere cos([mm]\pi+\frac1n[/mm])=-cos([mm]\frac1n[/mm]), was sich wegen der Periodizität auf [mm]3\pi+\frac1n[/mm], [mm]5\pi+\frac1n[/mm],... übertragen lässt.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo gauschling!
> [mm]a_{n+1}= cos\times \left( \bruch{1+n^2 \times \pi}{n} \right)[/mm]
Kleine Anmerkung: das Malzeichen zwischen [mm] $\cos$ [/mm] und der Klammer ist an dieser Stelle absolut überflüssing und falsch.
Schließlich grenzt die Klammer nur das Argument der Cosinus-Funktion ein und es findet dort keine Multiplikation statt.
Gruß
Loddar
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