Häufungspunkte einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Mi 27.10.2010 | | Autor: | Kato |
| Aufgabe | Sei [mm]\alpha \in [0,2\pi[ [/mm] eine feste Zahl. Bestimme alle Häufungspunkte der Folge [mm] a_n = (e^{i\alpha})^n [/mm], falls
a) [mm] \bruch{\alpha}{2\pi} \in \IQ [/mm]
b) [mm] \bruch{\alpha}{2\pi} \not\in \IQ [/mm] |
Guten Abend allerseits,
also habe schon herausgefunden, dass für a) [mm] \alpha = \pi [/mm] sein muss. Häufungspunkte sind damit: -1 für n ungerade und 1 für n gerade. Aber bei b) kann [mm] \alpha [/mm] im Intervall [mm] \in [0,2\pi[ [/mm] ja alles sein außer
[mm] \pi. [/mm] Gibt es dann überhaupt Häufungspunkte? Ich denke nicht, da es Häufungspunkte ja nur bei konvergenten Teilfolgen gibt. Was mich verunsichert, ist dass [mm] a_n = (e^{i\alpha})^n [/mm] ja "im Kreis rumgeht". Hoffe ihr könnt mir ein wenig Klarheit verschaffen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
Kato
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sagst richtig, es geht im Kreis rum, wenn du jetzt ne rationale Zahl hast also besser [mm] \alpha=r*2\pi [/mm] r=p/q dann gick doch mal wo du überall "oft vorbeikommst. nimm mal r=1/6 und zeichne die Potenzen von 1 bis 24, dann solltest du wissen wies weiter geht, und das dann für andere rationale Winkel.
was passiert bei irrationalen, kommst du jemals wieder an nem punkt an, den du schon hattest?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 27.10.2010 | | Autor: | chrisno |
> also habe schon herausgefunden, dass für a) [mm]\alpha = \pi[/mm]
> sein muss.
Wieso das? Was ist mit [mm]\alpha = \bruch{\pi}{3}[/mm] ?
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