Häufungspunkte & innere Punkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:33 Sa 03.01.2009 | | Autor: | DarkCell |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende Mengen:
[mm] D_{1} [/mm] = [0,1] [mm] \cup \{ \bruch{2n}{n+1} | n \in \IN \}
[/mm]
[mm] D_{2} [/mm] = [mm] ]0,\infty[
[/mm]
[mm] D_{3} [/mm] = [1,2] [mm] \cup \{ \bruch{3n+1}{2n+1} | n \in \IN \}
[/mm]
[mm] D_{4} [/mm] = [0,1] [mm] \times [/mm] ]0,1[
Man gebe für jede Menge die Menge ihrer Häfungspunkte bzw. inneren Punkte an und kläre, ob die Menge abgeschlossen oder offen ist? |
Ich habe leider immer noch nicht ganz verstanden was es mit diesen ominösen Häufungspunkten und inneren Punkten auf sich hat.
Nach der Anleitung die wir hatten, habe ich es soweit verstanden, dass ich z.B. bei [mm] D_{1} [/mm] Folgen finden muss, die gegen verschiedene [mm] x_{0} [/mm] streben und diese [mm] x_{0} [/mm] sind dann die Häufungspunkte richtig? Achja diese Folgen müssen natürlich selber in [mm] D_{1} [/mm] liegen. Also wären die Häfungspunkte bei [mm] D_{1} [/mm] doch [0,1] oder? Und damit die Menge abgeschlossen?
Muss ich jetzt auch auf innere Punkte testen oder schließt sich das gegenseitig aus?
Und wie mache ich das mit den inneren Punkten, das hatten wir nicht mehr in der Anleitung.
Außerdem weiß ich auch bei den anderen drei Mengen nicht wie ich das mit den Häufungspunkten machen soll, besonders bei [mm] D_{4}.
[/mm]
Danke schonmal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben seien folgende Mengen:
> [mm]D_{1}[/mm] = [0,1] [mm]\cup \{ \bruch{2n}{n+1} | n \in \IN \}[/mm]
>
> [mm]D_{2}[/mm] = [mm]]0,\infty[[/mm]
>
> [mm]D_{3}[/mm] = [1,2] [mm]\cup \{ \bruch{3n+1}{2n+1} | n \in \IN \}[/mm]
>
> [mm]D_{4}[/mm] = [0,1] [mm]\times[/mm] ]0,1[
>
> Man gebe für jede Menge die Menge ihrer Häfungspunkte bzw.
> inneren Punkte an und kläre, ob die Menge abgeschlossen
> oder offen ist?
> Ich habe leider immer noch nicht ganz verstanden was es
> mit diesen ominösen Häufungspunkten und inneren Punkten auf
> sich hat.
> Nach der Anleitung die wir hatten, habe ich es soweit
> verstanden, dass ich z.B. bei [mm]D_{1}[/mm] Folgen finden muss, die
> gegen verschiedene [mm]x_{0}[/mm] streben und diese [mm]x_{0}[/mm] sind dann
> die Häufungspunkte richtig? Achja diese Folgen müssen
> natürlich selber in [mm]D_{1}[/mm] liegen.
Richtig, aber die Häufungspunkte müssen das nicht!
> Also wären die
> Häfungspunkte bei [mm]D_{1}[/mm] doch [0,1] oder? Und damit die
> Menge abgeschlossen?
Du hast insofern recht, dass alle Punkte $[0,1]$ Häufungspunkte der Menge [mm] $D_1$ [/mm] sind. (Allgemeine sind alle Punkte eines Intervalls reeller Zahlen Häufungspunkte.) Aber du hast den zweiten Teil der Menge noch nicht genau genug angeschaut.
> Muss ich jetzt auch auf innere Punkte testen oder schließt
> sich das gegenseitig aus?
Es schließt sich nicht gegenseitig aus.
> Und wie mache ich das mit den inneren Punkten, das hatten
> wir nicht mehr in der Anleitung.
Ich weiß nicht, wie ihr innere Punkte definiert habt. Meine Regel ist immer: die inneren Punkte sind das, was übrigbleibt, wenn man alle Randpunkte und isolierten Punkte weglässt.
> Außerdem weiß ich auch bei den anderen drei Mengen nicht
> wie ich das mit den Häufungspunkten machen soll, besonders
> bei [mm]D_{4}.[/mm]
[mm] $D_2$ [/mm] besteht aus allen positiven reellen Zahlen. Kannst du zu jeder positiven reellen Zahl a eine Folge positiver reeller Zahlen finden, die gegen a konvergiert?
Bei [mm] $D_3$ [/mm] solltest du dir genau überlegen, welche Punkte in der zweiten Komponente liegen.
[mm] $D_4$ [/mm] ist ein kartesisches Produkt, eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$. [/mm] Nimm an, du hast also ein [mm] $(x,y)\in D_4$. [/mm] Suche nun eine Folge [mm] $(x_n,y_n)$, [/mm] die gegen $(x,y)$ konvergiert. Kannst du sie finden, ist $(x,y)$ ein Häufungspunkt.
Viele Grüße
Rainer
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