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| Aufgabe 1 | | Zeige: Jeder Punkt x [mm] \in [/mm] [1,2] ist Häufungspunkt von [1,2] |
| Aufgabe 2 | | Finde alle Häufungspunkte von [mm] {(-1)^n \frac{n}{n+1}:n\in \IN} [/mm] |
| Aufgabe 3 | Zeige:
[mm] a)\IZ [/mm] ist nicht kompakt.
b) [mm] \{1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},...\frac{1}{n^2}\} [/mm] ist nicht kompakt. |
Hallo!
Ich hab ja schon einige Zeit gebraucht, um die Sache mit den Häufungspunkten einigermaßen zu verstehen... aber wie soll ich das zeigen?
ad 1) Is mir völlig klar, nur wie zeig ich das? Indirekt?
ad 2) Meiner Meinung nach sind -1 und 1 Häufungspunkte (weil das ganze entweder gegen -1 (bei ungerader Potenz) oder gegen 1 (gerade Potenz) strebt.) Kann man das auch irgendwie berechnen/beweisen?
ad 3)
a) Ist ja so, weil [mm] \IZ [/mm] nicht abgeschlossen ist,oder? Kann ich da mit [mm] \forall [/mm] n [mm] \exists [/mm] n+1 [mm] \in \IZ [/mm] argumentieren?
b)Warum ist das nicht kompakt, es geht ja gegen Null und dann wärs ja beschränkt...
Irgendwie blick ich da nicht ganz durch...
Vielen Dank im Vorraus,
Rebell der Sonne
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:54 Do 20.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
1.)
> Zeige: Jeder Punkt x [mm]\in[/mm] [1,2] ist Häufungspunkt von [1,2]
2.)
> Finde alle Häufungspunkte von [mm]\{(-1)^n \frac{n}{n+1}:n\in \IN\}[/mm]
Mengenklammern schreibe bitte mit einem Backslash davor: [mm] [nomm]$\{\}$[/nomm]. [/mm] Die lästigen Doppel-m's kannst Du umgehen, indem Du vor eine Formel und hinter die Formel ein Dollarzeichen setzt.
3.)
> Zeige:
> [mm]a)\IZ[/mm] ist nicht kompakt.
> b) [mm]\{1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},...\frac{1}{n^2}\}[/mm] ist
> nicht kompakt.
> Hallo!
>
> Ich hab ja schon einige Zeit gebraucht, um die Sache mit
> den Häufungspunkten einigermaßen zu verstehen... aber wie
> soll ich das zeigen?
>
> ad 1) Is mir völlig klar, nur wie zeig ich das? Indirekt?
nein, mach' es ruhig direkt: Zeige: Ist $x [mm] \in [/mm] [1,2]$ beliebig, aber fest, so findest Du zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $y=y(x,\varepsilon) \in [/mm] [1,2]$ mit $|x-y| < [mm] \varepsilon\,.$ [/mm] Das ist fast nur Hinschreiberei und ein Bildchen dazu sollte Dir eine Beweisidee liefern.
Wenn Dir das zu aufwändig ist:
Es folgt auch direkt aus der Tatsache, dass die Menge als abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] kompakt ist.
> ad 2) Meiner Meinung nach sind -1 und 1 Häufungspunkte
> (weil das ganze entweder gegen -1 (bei ungerader Potenz)
> oder gegen 1 (gerade Potenz) strebt.) Kann man das auch
> irgendwie berechnen/beweisen?
Ja, dazu lies' vielleicht mal alles von hier durch. Das ist zwar etwas viel, aber ich habe nun auch nicht mehr so wirklich die Lust, das alles nochmal in Kurzform zu fassen und zu wiederholen.
> ad 3)
> a) Ist ja so, weil [mm]\IZ[/mm] nicht abgeschlossen ist,oder?
Das ist Quatsch. [mm] $\IZ$ [/mm] ist abgeschlossen. Ist [mm] $(a_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IZ$ [/mm] die konvergiert, so gibt es ein $N [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so dass [mm] $a_{n+1}=a_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$ [/mm] Das folgt, wenn man (bspw.) [mm] $\varepsilon=\frac{1}{4}$ [/mm] wählt. Dann konvergiert [mm] $(a_n)_n$ [/mm] aber gegen [mm] $a_N$ [/mm] (Warum?) und es gilt [mm] $a_N \in \IZ\,.$
[/mm]
> Kann
> ich da mit [mm]\forall[/mm] n [mm]\exists[/mm] n+1 [mm]\in \IZ[/mm] argumentieren?
Nö, ich weiß auch gar nicht, was Du damit zeigen willst? In Wahrheit kann [mm] $\IZ$ [/mm] schon nicht kompakt sein, weil [mm] $\IZ$ ($\subset \IR$) [/mm] nicht beschränkt ist. Und das kannst Du nun mal versuchen, zu beweisen.
> b)Warum ist das nicht kompakt, es geht ja gegen Null und
> dann wärs ja beschränkt...
Häh? ^^
> Irgendwie blick ich da nicht ganz durch...
Bei 3a) und 3b) merkt man's ein bisschen 
Zu 3b):
Wir schreiben mal [mm] $W:=\{1/n^2:\;n \in \IN\}\,.$
[/mm]
(Deine Schreibweise: [mm] $\{1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},...\frac{1}{n^2}\}$ [/mm] ist übrigens falsch, das würde bedeuten, dass die Menge genau [mm] $\,n\,$ [/mm] Elemente hätte und als endliche Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] insbesondere kompakt wäre. Da steht in Wahrheit sicher: [mm] $\{1,\frac{1}{4},\frac{1}{9},...\frac{1}{n^2},\,\red{...}\}$. [/mm] Die roten Pünktchen am Ende sind hier sehr wichtig!)
Die Menge [mm] $\,W\,$ [/mm] ist beschränkt (z.B. durch $0$ (und damit auch jede reelle Zahl [mm] $-\infty [/mm] < r < 0$) nach unten und durch $1$ (und damit auch jede reelle Zahl $1 < R < [mm] \infty$) [/mm] nach oben).
Sie ist aber nicht abgeschlossen. Wäre sie abgeschlossen, so müsste für $W [mm] \subset \IR$ [/mm] der Grenzwert einer jeden Folge aus [mm] $W\,,$ [/mm] die in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, auch in $W$ liegen. Es gilt aber:
[mm] $(1/n^2)_n$ [/mm] ist eine Folge in [mm] $W\,,$ [/mm] die in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert. Gilt denn auch [mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \in [/mm] W$?
Gruß,
Marcel
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