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| Aufgabe | Sei A eine Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen. In der Vorlesung
wurde definiert: Eine reelle (komplexe) Zahl a ist ein Häufungspunkt von A, wenn jede
Umgebung von a noch mindestens einen von a verschiedenen Punkt aus A enthält. A
heißt abgeschlossen, wenn alle Häufungspunkte von A wieder zu A gehören.
a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen (i)-(iii):
(i) a ist Häufungspunkt von A.
(ii) Jede Umgebung von a enthält unedlich viele verschiedene Punkte aus A.
(iii) Es existiert eine Zahlenfolge [mm] {x_{n}}_{n \ge 1} [/mm] von paarweise verschiedene Elementen [mm] x_{n} \in [/mm] A
mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = a. |
Hallo =)
ich finde einfach keinen Ansatz bei dieser Aufgabe und weiß deshalb nicht wirklich,was ich zuerst machen muss, um die Aufgabe richtig zu lösen. Ich weiß zwar was ein Häufungspunkt ist, aber mit dem Begriff Umgebung komm ich auch noch nicht ganz so gut zurecht.
Für etwas Hilfe und kleine Unterstützung wär ich sehr dankbar :)
Liebe Grüße ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 So 23.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei A eine Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen. In
> der Vorlesung
> wurde definiert: Eine reelle (komplexe) Zahl a ist ein
> Häufungspunkt von A, wenn jede
> Umgebung von a noch mindestens einen von a verschiedenen
> Punkt aus A enthält. A
> heißt abgeschlossen, wenn alle Häufungspunkte von A
> wieder zu A gehören.
> a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen
> (i)-(iii):
>
> (i) a ist Häufungspunkt von A.
> (ii) Jede Umgebung von a enthält unedlich viele
> verschiedene Punkte aus A.
> (iii) Es existiert eine Zahlenfolge [mm]{x_{n}}_{n \ge 1}[/mm] von
> paarweise verschiedene Elementen [mm]x_{n} \in[/mm] A
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = a.
> Hallo =)
> ich finde einfach keinen Ansatz bei dieser Aufgabe und
> weiß deshalb nicht wirklich,was ich zuerst machen muss, um
> die Aufgabe richtig zu lösen. Ich weiß zwar was ein
> Häufungspunkt ist, aber mit dem Begriff Umgebung komm ich
> auch noch nicht ganz so gut zurecht.
Versuch doch mal, eine der Implikationen zu beweisen. Z.B. (iii)=>(ii).
Wenn es eine solche Zahlenfolge [mm]{x_{n}}[/mm] gibt, dann gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $N_0$, [/mm] sodass
[mm] |x_n -a| <\varepsilon[/mm] für $n>N$.
Anders ausgedrückt: alle [mm] $x_n$ [/mm] mit $n>N$ liegen in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von a. Wieviele Folgenglieder sind das?
Dann beweist du (ii)=>(i) und schließlich (i)=>(iii).
Viele Grüße
Rainer
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