Häufungspunkte von Folgen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Bestimmmen Sie Häufungspunkte der folgenden Folgen (es wird nicht gefordert zu zeigen, dass die Folgen außer den gefundenen Häufungspunkten keine Häufungspunkte besitzen) |
Und zwar würde ich gerne einmal am Beispiel einer Folge die Aufgabenstellung verstehen
$ [mm] a_{n}:= (-1)^n+(-2)^{-n} [/mm] $
In der Vorlesung haben wir bewiesen, dass $ [mm] (-1)^n [/mm] $ die Häufungspunkte $ -1 $ und $ 1 $ besitzt. Weiter haben wir bewiesen, dass $ 1/n $ eine Nullfolge ist. Also gilt ab einem $ [mm] n\underline{0} [/mm] $ mit $ n>{0} $, dass $ [mm] (-2)^{-n} [/mm] $ eine Nullfolge ist. Mit der Begründung: $, dass $ [mm] (-2)^{-n} [/mm] = [mm] 1/{(-2)^n} [/mm] $ gilt. Wenn $ n = [mm] -2^n [/mm] $ gilt dies.
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Hallo,
> Bestimmmen Sie Häufungspunkte der folgenden Folgen (es
> wird nicht gefordert zu zeigen, dass die Folgen außer den
> gefundenen Häufungspunkten keine Häufungspunkte
> besitzen)
> Und zwar würde ich gerne einmal am Beispiel einer Folge
> die Aufgabenstellung verstehen
Na, wie habt ihr Häufungspunkte definiert?
>
> [mm]a_{n}:= (-1)^n+(-2)^(-n)[/mm]
Es ist [mm] a_n=(-1)^n+\frac{(-1)^n}{2^n}.
[/mm]
Hinten steht eine Nullfolge, damit bestimmt [mm] (-1)^n [/mm] die Häufungspunkte von [mm] a_n.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Gut, dann sollte meine im Eröffnungsbeitrag noch hinzugefügte Lösung richtig sein.
Größere Probleme bereiten mir die rekursiv definierten Folgen:
$ [mm] a_{1}:= [/mm] 1, [mm] a_{n+1}:=1/2-a_{n} [/mm] $
Die Folge verstehe ich noch, bzw kann einzelne Glieder berechnen.
a an der Stelle 1 ist 1, an der Stelle 2 -0,5, an der Stelle 3 0, an der Stelle 4 0,5, an der Stelle 5 0 (wenn ich mich nicht verrechnet habe).
Da zeichnet sich 0 und 0,5 als Häufungspunkt ab. Nur wie beweise ich so etwas bei rekursiv definierten Folgen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Di 06.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Gut, dann sollte meine im Eröffnungsbeitrag noch
> hinzugefügte Lösung richtig sein.
>
> Größere Probleme bereiten mir die rekursiv definierten
> Folgen:
>
> [mm]a_{1}:= 1, a_{n+1}:=1/2-a_{n}[/mm]
>
> Die Folge verstehe ich noch, bzw kann einzelne Glieder
> berechnen.
> a an der Stelle 1 ist 1, an der Stelle 2 -0,5, an der
> Stelle 3 0, an der Stelle 4 0,5, an der Stelle 5 0 (wenn
> ich mich nicht verrechnet habe).
>
> Da zeichnet sich 0 und 0,5 als Häufungspunkt ab. Nur wie
> beweise ich so etwas bei rekursiv definierten Folgen?
Edit: Da stand Unfug
FRED
>
>
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Hallo,
> Gut, dann sollte meine im Eröffnungsbeitrag noch
> hinzugefügte Lösung richtig sein.
Die Begründung, vor allem der letzte Punkt, ist haarsträubend ...
>
> Größere Probleme bereiten mir die rekursiv definierten
> Folgen:
>
> [mm]a_{1}:= 1, a_{n+1}:=1/2-a_{n}[/mm]
>
> Die Folge verstehe ich noch, bzw kann einzelne Glieder
> berechnen.
> a an der Stelle 1 ist 1, an der Stelle 2 -0,5, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") an der
> Stelle 3 0 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") , an der Stelle 4 0,5, an der Stelle 5 0 (wenn
> ich mich nicht verrechnet habe).
>
> Da zeichnet sich 0 und 0,5 als Häufungspunkt ab.
Nein! Da musst du wohl ab [mm] $a_3$ [/mm] nochmal nachrechnen ...
> Nur wie
> beweise ich so etwas bei rekursiv definierten Folgen?
>
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Also ich probiere noch einmal die erste Aufgabe:
Aus der Vorlesung: Die Folge $ [mm] (-1)^n [/mm] $ besitzt die Häufungspunkte $ -1 $ und $ 1 $. Sei $ [mm] (-2)^{n} [/mm] = n$. Weiter gilt aus der Vorlesung:$ 1/n $ ist eine Nullfolge. Somit ist $ [mm] (-2)^{-n} [/mm] $ eine Nullfolge.
Dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n+(-2)^{-n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n+0 [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n
[/mm]
Es gibt nun eine Teilfolge n=2k, mit Häufungspunkt 1 und eine Teilfolge n=2k+1 mit Häufungspunkt -1.
Bei der zweiten Aufgabe komme ich aber noch immer auf keinen Ansatz.
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Hallo nochmal,
> Also ich probiere noch einmal die erste Aufgabe:
> Aus der Vorlesung: Die Folge [mm](-1)^n[/mm] besitzt die
> Häufungspunkte [mm]-1[/mm] und [mm]1 [/mm]. Sei [mm](-2)^{n} = n[/mm].
Sei 1=2, das ist doch grober Unfug, was du da schreibst ...
> Weiter gilt
> aus der Vorlesung:[mm] 1/n[/mm] ist eine Nullfolge.
Ja
> Somit ist
> [mm](-2)^{-n}[/mm] eine Nullfolge.
Das "somit" erschließt sich mit nicht!
> Dann:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n+(-2)^{-n}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n+0[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^n[/mm]
Wie begründest du die "=" ?
Schaue dir mal die Grenzwertzsätze genauer an ...
> Es gibt nun eine
> Teilfolge n=2k, mit Häufungspunkt 1 und eine Teilfolge
> n=2k+1 mit Häufungspunkt -1.
Das stimmt!
>
> Bei der zweiten Aufgabe komme ich aber noch immer auf
> keinen Ansatz.
Berechne erstmal die ersten 5 Glieder korrekt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 06.12.2011 | | Autor: | yangwar1 |
Ich weiß nicht, ob es evtl. falsch angezeigt wird.
Ich habe aber geschrieben, dass man $ [mm] (-2)^{n} [/mm] = n $ setzt.
Richtig ist es vermutlich so:
Sei $ n [mm] :=(-2)^{n} [/mm] $
Das die ersten folgenglieder bei der 2. Aufgabe falsch sind ist mir auch schon aufgefallen. Sie springt natürlich zwischen 1 und -0,5.
Für alle geraden Indizes ist die teilfolge 1, für alle ungeraden 1.
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Hallo nochmal,
> Ich weiß nicht, ob es evtl. falsch angezeigt wird.
> Ich habe aber geschrieben, dass man [mm](-2)^{n} = n[/mm] setzt.
> Richtig ist es vermutlich so:
> Sei [mm]n :=(-2)^{n}[/mm]
Das kannst du doch so nicht schreiben, das ist doch [mm]\text{Quatsch}^3[/mm]
Es ist für alle [mm]n\in\IN[/mm] doch [mm]2^n\ge n[/mm]
Also [mm]0\le\frac{1}{2^n}\le\frac{1}{n}[/mm]
Lässt du auf beiden Seiten [mm]n\to \infty[/mm] laufen, so hast du die Folge [mm]\left(\frac{1}{2^n}\right)_{n\in\IN}[/mm] zwischen 2 Nullfolgen eingequetscht.
Nach dem Sandwichlemma (oder Einschließungsklemma) konvergiert auch die eingequetschte Folge gegen 0.
>
> Das die ersten folgenglieder bei der 2. Aufgabe falsch sind
> ist mir auch schon aufgefallen. Sie springt natürlich
> zwischen 1 und -0,5.
Genau!
> Für alle geraden Indizes ist die teilfolge 1, für alle
> ungeraden 1.
Induktion über ungerade und gerade Indizes:
1) ungerade:
IA: [mm]n=1[/mm]: [mm]a_1=1 \ \green{\checkmark}[/mm]
IS: Sei [mm]n\in\IN[/mm] und gelte [mm]a_{2n+1}=1[/mm] (IV)
Dann ist [mm]a_{2(n+1)+1}=a_{2n+3}=\frac{1}{2}-a_{2n+2}=\frac{1}{2}-\left[\frac{1}{2}-a_{2n+1}\right][/mm] zweimal das Bildungsgesetz angewandt
[mm]=\frac{1}{2}-\left[\frac{1}{2}-1\right][/mm] nach IV
[mm]=1[/mm]
q.e.d.
2) gerade Indizes machst du!
Gruß
schachuzipus
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