Häufungspunkte von Mengen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] und geben Sie zu b) an, ob die Menge offen, abschlossen oder keins von beiden ist:
a) [mm] $[0,1)\cap \IQ$
[/mm]
b) [mm] $\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}~\vert~m,n\in \IN\right\}$
[/mm]
c) [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$ [/mm] |
Hallo, zusammen,
a) Hier ist meine Behauptung: [mm] $\left\{x\in\IR: x~\text{ist HP von M}\right\}=\left[0,1\right]$
[/mm]
Beweis: Sei [mm] $x_{0}\in [/mm] [0,1]$ beliebig, [mm] \epsilon [/mm] beliebig. [mm] \left(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon\right)\cap M\supset\left(a,b\right), [/mm] $a<b$ geeignet, weil in [mm] $\left(a,b\right)$ [/mm] abzählbar unendlich viele Elemente von [mm] $\IQ$ [/mm] liegen.
Ist das so richtig argumentiert?
b) Sei [mm] $x_{0}\in [/mm] M$ und [mm] $\epsilon$ [/mm] beliebig. [mm] $\Rightarrow \exists p\in\left(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon\right), p\in \IR, p>\frac{1}{n}+\frac{1}{m};n,m\in\IN\Rightarrow p\notin M,~\text{da}~\forall x\in M:x\in \IN$
[/mm]
Dies folgt daraus, dann in jeder Umgebung [mm] $U_{\epsilon}\left(x_{0}\right)\subset\IR$ [/mm] überabzählbar unendlich viele Elemente aus [mm] \IR [/mm] liegen.
Also hat M keine inneren Punkte und ist somit nicht offen.
Ist es wahr, dass M endlich ist? Hab ich mir überlegt, weil ja für jedes Paar [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] die Menge ja genau ein Element hat und hier ja nicht von einer Vereinigung von Mengen die Rede ist. Daraus wuerde ja folgen, dass M keine Haeufungspunkte hat und abschlossen ist.
c) Hier sind alle Punkte in [mm] $\left[-1,0\right]$ [/mm] Haeufungspunkte von M.
Seien $ [mm] t_{n}:=-1-\frac{1}{n} [/mm] $ und $ [mm] s_{n}:=\frac{1}{n} [/mm] $ Folgen.
Es ist $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(-1-\frac{1}{n}\right)=-1 [/mm] $ und $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0$.
[/mm]
Somit ist [mm] $\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\left(-1,0\right)$. [/mm] Ausserdem ist insbesondere [mm] $\left(-1,0\right)\subset\IR$ [/mm] ein Intervall ueberabzaehlbarer Laenge, somit ist [mm] $\left[-1,0\right]$ [/mm] die Menge der Hauefungspunkte von M.
Vielen Dank,
Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 26.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der folgenden Teilmengen
> von [mm]\IR[/mm] und geben Sie zu b) an, ob die Menge offen,
> abschlossen oder keins von beiden ist:
>
> a) [mm][0,1)\cap \IQ[/mm]
>
> b) [mm]\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}~\vert~m,n\in \IN\right\}[/mm]
>
> c)
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)[/mm]
> Hallo, zusammen,
>
> a) Hier ist meine Behauptung: [mm]\left\{x\in\IR: x~\text{ist HP von M}\right\}=\left[0,1\right][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Beweis: Sei [mm]x_{0}\in [0,1][/mm] beliebig, [mm]\epsilon[/mm] beliebig.
> [mm]\left(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon\right)\cap M\supset\left(a,b\right),[/mm]
> [mm]a
> unendlich viele Elemente von [mm]\IQ[/mm] liegen.
>
> Ist das so richtig argumentiert?
Ich verstehe deine Argumentation nicht.
In jeder Umgebung eines Häufungspunktes liegt mindestens ein weiterer Punkt der Menge, was hier sicherlich für alle Punkte der Menge der Fall ist.
> b) Sei [mm]x_{0}\in M[/mm] und [mm]\epsilon[/mm] beliebig. [mm]\Rightarrow \exists p\in\left(x_{0}-\epsilon,x_{0}+\epsilon\right), p\in \IR, p>\frac{1}{n}+\frac{1}{m};n,m\in\IN\Rightarrow p\notin M,~\text{da}~\forall x\in M:x\in \IN[/mm]
Wieso sollte eine solche reelle Zahl p existieren?
>
> Dies folgt daraus, dann in jeder Umgebung
> [mm]U_{\epsilon}\left(x_{0}\right)\subset\IR[/mm] überabzählbar
> unendlich viele Elemente aus [mm]\IR[/mm] liegen.
>
> Also hat M keine inneren Punkte und ist somit nicht offen.
Ich habe lange gebraucht, dein Argument zu verstehen, denn die erste Zeile ist Unsinn. Wenn ich dich richtig verstehe, betrachtest du eine [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] eines Punktes [mm] $x_0\in [/mm] M$ und sagst, dass sie nicht vollständig zu M gehört, den sie enthält per Definition auch reelle Zahlen, während M nur rationale Zahlen enthält. Dieses Argument ist richtig.
>
> Ist es wahr, dass M endlich ist?
Nein. M ist abzählbar unendlich.
> Hab ich mir überlegt,
> weil ja für jedes Paar [mm]n,m\in\IN[/mm] die Menge ja genau ein
> Element hat und hier ja nicht von einer Vereinigung von
> Mengen die Rede ist. Daraus wuerde ja folgen, dass M keine
> Haeufungspunkte hat und abschlossen ist.
Auch dieses Argument verstehe ich nicht. Überlege dir zunächst Folgendes:
[mm] \left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\Bigm| m,n\in \IN\right\}[/mm] [mm] \subset [/mm] [0,1] [/mm].
Untersuche doch erst einmal die Punkte 0 und 1? Sind es Häufungspunkte?
>
> c) Hier sind alle Punkte in [mm]\left[-1,0\right][/mm]
> Haeufungspunkte von M.
Korrekt.
>
> Seien [mm]t_{n}:=-1-\frac{1}{n}[/mm] und [mm]s_{n}:=\frac{1}{n}[/mm] Folgen.
>
> Es ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(-1-\frac{1}{n}\right)=-1[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0[/mm].
> Somit ist
> [mm]\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)=\left(-1,0\right)[/mm].
Das ist nicht richtig. Für jedes n gilt:
[mm] 0,1 \in \left(-1-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right) [/mm].
Daher sind 0 und 1 Elemente der Menge. Die Menge ist das abgeschlossene Intervall $[0,1]$.
> Ausserdem ist insbesondere [mm]\left(-1,0\right)\subset\IR[/mm] ein
> Intervall ueberabzaehlbarer Laenge,
Die Länge des Intervalls ist 1.
> somit ist
> [mm]\left[-1,0\right][/mm] die Menge der Hauefungspunkte von M.
Nein, weil in einem abgeschlossenen Intervall in jeder Umgebung jedes Punktes unendlich viele weitere Punkte liegen.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank schon mal,
zu a)
> In jeder Umgebung eines Häufungspunktes liegt mindestens
> ein weiterer Punkt der Menge, was hier sicherlich für alle
> Punkte der Menge der Fall ist.
Hm, per Def. müssen doch in jeder Umgebung unendlich viele Elemente von M liegen, oder? Nicht nur min. eines.
zu b)
> Ich habe lange gebraucht, dein Argument zu verstehen, denn
> die erste Zeile ist Unsinn. Wenn ich dich richtig verstehe,
> betrachtest du eine $ [mm] \varepsilon [/mm] $-Umgebung eines Punktes
> $ [mm] x_0\in [/mm] M $ und sagst, dass sie nicht vollständig zu M
> gehört, den sie enthält per Definition auch reelle
> Zahlen, während M nur rationale Zahlen enthält. Dieses
> Argument ist richtig.
Habe gemerkt, dass ich einige Symbole etwas verdreht hatte. Aber das meinte ich genau. Das reicht als Begründung, oder?
> $ [mm] \left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\Bigm| m,n\in \IN\right\} [/mm] $
> $ [mm] \subset [/mm] $ [0,1] [/mm].
Das stimmt doch gar nicht, 2 ist doch auch Element von [mm] $\frac{1}{n}+\frac{1}{m}$ [/mm] für $m=n=1$.
zu c)
> Die Länge des Intervalls ist 1.
Da hab ich mich verschrieben!
> > somit ist
> > $ [mm] \left[-1,0\right] [/mm] $ die Menge der Hauefungspunkte von M.
>
> Nein, weil in einem abgeschlossenen Intervall in jeder
> Umgebung jedes Punktes unendlich viele weitere Punkte
> liegen.
>
Aber so ist doch genau ein Häufungspunkt definiert! Das in jeder Umgebung jedes Punktes undendlich viele weitere Punkte liegen, und das ist doch in einem reellen Intervall positiver Länge der Fall!
Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 26.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank schon mal,
>
> zu a)
>
> > In jeder Umgebung eines Häufungspunktes liegt mindestens
> > ein weiterer Punkt der Menge, was hier sicherlich für
> alle
> > Punkte der Menge der Fall ist.
>
> Hm, per Def. müssen doch in jeder Umgebung unendlich viele
> Elemente von M liegen, oder? Nicht nur min. eines.
>
> zu b)
>
> > Ich habe lange gebraucht, dein Argument zu verstehen, denn
> > die erste Zeile ist Unsinn. Wenn ich dich richtig
> verstehe,
> > betrachtest du eine [mm]\varepsilon [/mm]-Umgebung eines Punktes
> > [mm]x_0\in M[/mm] und sagst, dass sie nicht vollständig zu M
> > gehört, den sie enthält per Definition auch reelle
> > Zahlen, während M nur rationale Zahlen enthält.
> Dieses
> > Argument ist richtig.
>
> Habe gemerkt, dass ich einige Symbole etwas verdreht hatte.
> Aber das meinte ich genau. Das reicht als Begründung,
> oder?
>
> > [mm]\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\Bigm| m,n\in \IN\right\}[/mm]
>
> > [mm]\subset[/mm] [0,1] [/mm].
>
> Das stimmt doch gar nicht, 2 ist doch auch Element von
> [mm]\frac{1}{n}+\frac{1}{m}[/mm] für [mm]m=n=1[/mm].
Sorry, TIppfehler, die 2 liegt halt direkt neben der 1 
>
> zu c)
>
> > Die Länge des Intervalls ist 1.
>
> Da hab ich mich verschrieben!
>
> > > somit ist
> > > [mm]\left[-1,0\right][/mm] die Menge der Hauefungspunkte von
> M.
> >
> > Nein, weil in einem abgeschlossenen Intervall in jeder
> > Umgebung jedes Punktes unendlich viele weitere Punkte
> > liegen.
> >
>
> Aber so ist doch genau ein Häufungspunkt definiert! Das in
> jeder Umgebung jedes Punktes undendlich viele weitere
> Punkte liegen, und das ist doch in einem reellen Intervall
> positiver Länge der Fall!
Genau!
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank, jetzt fühl ich mich deutlich sicherer!
Schönen Abend, Stefan.
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