Häufungswert,unendlichviele FG < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:04 Do 20.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine beschränkte Folge. Wenn die Ungleichung [mm] a_n \le [/mm] c für unendlich viele n gilt, dann besitzt die Folge einen Häufungswert [mm] \le [/mm] c. Wenn es ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt,sodaß die Ungleichung [mm] a_n \le [/mm] c für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt, dann ist der größte Häufungswert [mm] \le [/mm] c. |
Hallo zusammen,
Ich hab nicht die funkende Idee für das Bsp, nur eine Beziehung zu einen Beweis - die mir einfällt.
Es erinnert mich sehr an den Beweis von Bolzano-Weierstraß. Da hatten wir auch eine beschränkte Folge und definierten [mm] A=\{x \in \IR: a_n >x \mbox{für endlich viele n } \}. [/mm] Durch die Beschränktheit der Folge haben wir dann die Existenz eines inf(A) gezeigt sowie, dass inf(A) ein Häufungswert der Folge [mm] (a_n) [/mm] ist.
1)
Für alle x [mm] \in [/mm] A gilt: inf(A) [mm] \le [/mm] x
Da links von c unendlich viele Folgenglieder sind ist c [mm] \in [/mm] A.
[mm] \Rightarrow [/mm] inf(A) [mm] \le [/mm] c
So wäre der erste Punkt gezeigt.
2)
$ [mm] a_n \le [/mm] $ c für alle n $ [mm] \ge [/mm] $ N
Warum braucht man die Zusatzbedingung? Mit dem beweis von Bolzano hat man doch den größten Häufungspunkt gefunden.
Der Beweis, den ich anspreche findet ihr z.B. hier:
http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
Intern S.19
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine beschränkte Folge. Wenn die Ungleichung [mm]a_n \le[/mm]
> c für unendlich viele n gilt, dann besitzt die Folge einen
> Häufungswert [mm]\le[/mm] c. Wenn es ein N [mm]\in \IN[/mm] gibt,sodaß die
> Ungleichung [mm]a_n \le[/mm] c für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt, dann ist der
> größte Häufungswert [mm]\le[/mm] c.
> Hallo zusammen,
> Ich hab nicht die funkende Idee für das Bsp, nur eine
> Beziehung zu einen Beweis - die mir einfällt.
>
> Es erinnert mich sehr an den Beweis von
> Bolzano-Weierstraß. Da hatten wir auch eine beschränkte
> Folge und definierten [mm]A=\{x \in \IR: a_n >x \mbox{für endlich viele n } \}.[/mm]
> Durch die Beschränktheit der Folge haben wir dann die
> Existenz eines inf(A) gezeigt sowie, dass inf(A) ein
> Häufungswert der Folge [mm](a_n)[/mm] ist.
>
> 1)
> Für alle x [mm]\in[/mm] A gilt: inf(A) [mm]\le[/mm] x
> Da links von c unendlich viele Folgenglieder sind ist c
> [mm]\in[/mm] A.
> [mm]\Rightarrow[/mm] inf(A) [mm]\le[/mm] c
> So wäre der erste Punkt gezeigt.
>
> 2)
> [mm]a_n \le[/mm] c für alle n [mm]\ge[/mm] N
> Warum braucht man die Zusatzbedingung? Mit dem beweis von
> Bolzano hat man doch den größten Häufungspunkt
> gefunden.
>
> Der Beweis, den ich anspreche findet ihr z.B. hier:
>
> http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
> Intern S.19
>
> LG,
> sissi
Die erste Beh. kannst Du so erledigen:
Wenn die Ungleichung $ [mm] a_n \le [/mm] $ c für unendlich viele n gilt, so gibt es eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] von [mm] (a_n) [/mm] mit
(*) [mm] a_{n_k} \le [/mm] c für alle k.
[mm] (a_{n_k}) [/mm] ist beschränkt, also enthält [mm] (a_{n_k}) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (a_{n_{k_j}}). [/mm] Sei a ihr Limes.
Wegen (*) gilt auch
[mm] a_{n_{k_j}} \le [/mm] c für alle j.
Es folgt: a [mm] \le [/mm] c.
a ist ein Häufungswert von [mm] (a_n) [/mm] !
Für die zweite Behauptung nimm an [mm] (a_n) [/mm] hätte einen HW a mit a>c.
Folgere daraus, dass dann
[mm] a_n [/mm] >c für unendlich viele n
gilt.
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:43 Do 20.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort.
Aber lehnst du den meine Beweisführung ab weil sie falsch ist oder weil sie etwas verwendet von einen anderen Beweis und dadurch ist das ganze nicht universell verständlich?
-) [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN: a_n \le [/mm] c [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Da [mm] (a_n) [/mm] beschränkt, existiert ein Häufungswert. Ang. [mm] (a_n) [/mm] hätte Häufungswert a mit a>c.
Das a ein Häufungswert ist, bedeutet es existiert eine Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] mit Limes a.
Für k [mm] \ge [/mm] N: [mm] a_{n_k} \le [/mm] c
[mm] \Rightarrow lim(a_{n_k}) \le [/mm] lim(c) [mm] \gdw a\le [/mm] c
[mm] \rightarrow [/mm] Widerspruch.
Somit haben wir sogar gezeigt, dass alle Häufungswerte [mm] \le [/mm] c sind und damit auch der größte.
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 22.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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