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Häufungswerte: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Sa 15.05.2010
Autor: Julia_stud

Aufgabe
Berechnen Sie alle Häufungswerte der Folgen:

[mm] a_{n}:= \wurzel{n}(\wurzel{5+n}-\wurzel{2+n}) [/mm]

[mm] b_{n}:= \bruch{2^{n}+(-3)^{n}}{(-2)^{n}+3^{n}} [/mm]

[mm] c_{n}:= \wurzel[n]{n!} [/mm]

Leider komme ich nicht weiter:

[mm] a_{n}:= \wurzel{n}(\wurzel{5+n}-\wurzel{2+n}) [/mm] = [mm] \wurzel{5n+n^2}-\wurzel{2n+n^2} [/mm] ...hier habe ich keine Idee


[mm] b_{n}:= \bruch{2^{n}+(-3)^{n}}{(-2)^{n}+3^{n}} [/mm] hier würde ich unterscheiden in:
n = gerade nun die Folge umschreiben in: [mm] b_{2n}:= \bruch{2^{2n}+(-3)^{2n}}{(-2)^{2n}+3^{2n}} [/mm]  =  [mm] \bruch{2^{2n}+3^{2n}}{2^{2n}+3^{2n}} [/mm] = [mm] \bruch{5^{2n}}{5^{2n}} [/mm] = 1

n= ungerade nun die Folge umschreiben in [mm] b_{1n}:= \bruch{2^{1n}+(-3)^{1n}}{(-2)^{1n}+3^{1n}} [/mm]  = [mm] \bruch{(-1)^{1n}}{1^{1n}} [/mm] = (-1) [mm] \bruch{1^{1n}}{1^{1n}} [/mm] = -1


[mm] c_{n}:= \wurzel[n]{n!} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1*2*3*4*5*...*n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{1}*\wurzel[n]{2}*\wurzel[n]{3}*...*\wurzel[n]{n} [/mm] hier habe ich leider keine Idee

Vielen Dank, Julia

        
Bezug
Häufungswerte: Aufgabe (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Sa 15.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Julia!


Erweitere den Term mit [mm] $\left( \ \wurzel{5+n} \ \red{+} \ \wurzel{2+n} \ \right)$ [/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Häufungswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Sa 15.05.2010
Autor: Julia_stud

Wenn ich jetzt erweiter und die 3. binomische Formel anwende bekomme ich den Grenzwert der Folge, ich suche aber die Häufungswerte!

Bezug
                        
Bezug
Häufungswerte: Grenzwert = Häufungspunkt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Sa 15.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Julia!


Wenn eine Folge einen Grenzwert hat, ist dies ihr einziger Häufungspunkt.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Häufungswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Sa 15.05.2010
Autor: Julia_stud

Okay...also gilt:

$ [mm] a_{n}:= \wurzel{n}(\wurzel{5+n}-\wurzel{2+n})=\wurzel{5n+n^2}-\wurzel{2n+n^2}=\bruch{(\wurzel{5n+n^2}-\wurzel{2n+n^2})(\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2})}{\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2}}=\bruch{n^2-n^2+5n-2n}{\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2}}=\bruch{3n}{\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2}} [/mm] $

wie kann ich hier weiter kommen`?

Bezug
                                        
Bezug
Häufungswerte: ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 Sa 15.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Julia!


Klammere im Nenner nun $n \ = \ [mm] \wurzel{n^2}$ [/mm] aus und kürze dann.
Anschließend die Grenzwertbetrachtung ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Häufungswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Sa 15.05.2010
Autor: Julia_stud

DANKE!!!

Bezug
                                                
Bezug
Häufungswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:42 So 16.05.2010
Autor: melisa1

Hallo,

habe ich dann [mm] \bruch{n}{\wurzel{7n}+1} [/mm]

das ganze strebt also gegen unendlich???

Lg Melisa

Bezug
                                                        
Bezug
Häufungswerte: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 So 16.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


Das kann nicht stimmen, wenn Du vor dem Ausklammern jeweils eine Summe unter den Wurzeln im Nenner hattest.

Was hast Du hier wie gerechnet?


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Häufungswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 So 16.05.2010
Autor: melisa1

Hallo,

ich habe:

[mm] \bruch{3n}{\wurzel{5n}+n+\wurzel{2n}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{7n}+2n}=\bruch{n}{\wurzel{7n}+1} [/mm]

ich mache wahrscheinlich wieder irgendwas verbotenes :S

Bezug
                                                                        
Bezug
Häufungswerte: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 So 16.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


> ich mache wahrscheinlich wieder irgendwas verbotenes

Oh ja ... es gilt im Allgemeinen:
[mm] $$\wurzel{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Häufungswerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 16.05.2010
Autor: melisa1

Hallo,

okay da ich das nicht zusammenrechnen kann habe ich jetzt:

[mm] \bruch{3n}{\wurzel{5n}+n+\wurzel{2n}+n}=\bruch{3n}{\wurzel{5n}+\wurzel{2n}+2n}=\bruch{n}{\wurzel{5n}+\wurzel{2n}+1} [/mm]

stimmt das immer noch nicht???

Lg



Bezug
                                                                                        
Bezug
Häufungswerte: nur ausklammern!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 So 16.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Melisa!


Sag mal, willst Du mich auf den Arm nehmen? Du machst doch gerade genau wieder denselben Fehler!!

Hier mal der erste Schritt zum Ausklammern (und nur Ausklammern, nix Zusammenfassen oder so):
[mm] $$\wurzel{5n+n^2}+\wurzel{2n+n^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2*\left(\bruch{5}{n}+1\right)}+\wurzel{n^2*\left(\bruch{2}{n}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2}*\wurzel{\bruch{5}{n}+1}+\wurzel{n^2}*\wurzel{\bruch{2}{n}+1} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{n^2}*\left( \ \wurzel{\bruch{5}{n}+1}+\wurzel{\bruch{2}{n}+1} \ \right) [/mm] \ = \ ...$$

Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Häufungswerte: Aufgabe (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Sa 15.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Julia!


Die Idee mit der Fallunterscheidung in gerade und ungerade $n_$ ist sehr gut.

Jedoch fasst Du falsch zusammen, da:
[mm] $$a^k+b^k [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] (a+b)^k$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Häufungswerte: Aufgabe (c)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Sa 15.05.2010
Autor: Loddar

Hallo Julia!


Du kannst hier z.B. die []Stirling-Formel anwenden.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Häufungswerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Sa 15.05.2010
Autor: steppenhahn

Hallo Loddar,

ich glaube nicht, dass sie die Stirling-Formel verwenden dürfen...

-------

An den Fragesteller: Wenn ihr schon Potenzreihen / Reihen hattet, kannst du überlegen, den Konvergenzradius welcher Reihe du damit berechnen würdest.
Wenn ihr sowas noch nicht hattet, solltet ihr in der Vorlesung irgendein Hilfsmittel in die Hand gelegt bekommen haben, die euch diese Aufgabe vereinfacht, z.B.:

[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\to [/mm] a [mm] \Rightarrow \sqrt[n]{a_{n}}\to [/mm] a$.

(Gilt auch für a = [mm] \infty) [/mm]

Grüße,
Stefan

Bezug
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