Halbgruppe oder Monoid? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Mi 01.05.2013 | | Autor: | edding |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob folgende Mengen M mit der Verknüpfung ° eine Halbgruppe oder ein Monoid bilden.
a) M = [mm] \IN, [/mm] m°n := max{m,n} (m,n [mm] \in \IN)
[/mm]
b) M = [mm] \IN, [/mm] m°n := [mm] m^n [/mm] (m,n [mm] \in \IN)
[/mm]
c) Abb(A, [mm] f_1 [/mm] ° [mm] f_2) [/mm] (a) := [mm] f_1(f_2(a)) [/mm] für alle a [mm] \in \IN (f_1, f_2 \in [/mm] M); hierbei ist A eine beliebige, nicht leere Menge.
d) [mm] M=Abb(\IN), (f_1 [/mm] ° [mm] f_2)(n):= f_1(n)+f_2(n) [/mm] für alle n [mm] \in \IN (f_1,f_2 \in [/mm] M) |
hallo leute,
ich würde in jedem fall erst mal die assoziativität nachweisen, und dann ob es ein neutrales element gibt.
hierbei weiß ich auch nicht weiter... könnte ich bei a) ein p, was zwischen m und n liegt definieren, dass max{(m,p),n}=max{m,(p,n)} ist?
oder bei b) (m°m°...)°m (n-mal)=m°(m°.....°m) ???
reicht bei c) [mm] (f_1 [/mm] ° [mm] f_2)(a)=f_1 [/mm] ° [mm] (f_2(a))=f_1(f_2(a))?
[/mm]
bei d weiß ich im moment nicht so ganz, wie ich assoziativität zeigen kann..
und bei allem weiß ich beim besten willen nicht, wie ich ein neutrales element unterbringe..
bitte helft mir! :(
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Hallo edding,
mal eine Teilantwort zu a) und b):
> Untersuchen Sie, ob folgende Mengen M mit der Verknüpfung
> ° eine Halbgruppe oder ein Monoid bilden.
>
> a) M = [mm]\IN,[/mm] m°n := max{m,n} (m,n [mm]\in \IN)[/mm]
> b) M = [mm]\IN,[/mm]
> m°n := [mm]m^n[/mm] (m,n [mm]\in \IN)[/mm]
> c) Abb(A, [mm]f_1[/mm] ° [mm]f_2)[/mm] (a) :=
> [mm]f_1(f_2(a))[/mm] für alle a [mm]\in \IN (f_1, f_2 \in[/mm] M); hierbei
> ist A eine beliebige, nicht leere Menge.
> d) [mm]M=Abb(\IN), (f_1[/mm] ° [mm]f_2)(n):= f_1(n)+f_2(n)[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN (f_1,f_2 \in[/mm] M)
> hallo leute,
>
> ich würde in jedem fall erst mal die assoziativität
> nachweisen, und dann ob es ein neutrales element gibt.
>
> hierbei weiß ich auch nicht weiter... könnte ich bei a)
> ein p, was zwischen m und n liegt definieren, dass
> max{(m,p),n}=max{m,(p,n)} ist?
Nein, [mm]p[/mm] definieren geht nicht.
Du nimmst dir beliebige [mm]m,n,p\in \IN[/mm] her und zeigst, dass [mm](m\circ n)\circ p=m\circ (n\circ p)[/mm] gilt, dass also
[mm]\max\{\max\{m,n\},p\}=\max\{m,\max\{n,p\}\}[/mm] ist.
Dazu könntest du eine Fallunterscheidung machen.
Nimm zB. an, dass [mm]\max\{m,n\}=m[/mm] ...
>
> oder bei b) (m°m°...)°m (n-mal)=m°(m°.....°m) ???
Nee, suche mal konkrete [mm]m,n,p\in\IN[/mm], so dass [mm](m\circ n)\circ p\neq m\circ (n\circ p)[/mm] ist.
Also so, dass [mm]\left(m^n\right)^p\neq m^{\left(n^p\right)}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
falls du bei a) die Existenz des neutralen Elementes meintest, so überlege mal, welches denn die Kleinste natürliche Zahl [mm]n[/mm] ist.
Für welches [mm]n\in\IN[/mm] gilt denn [mm]n\le m[/mm] für alle [mm]m\in\IN[/mm], also [mm]\max\{m,n\}=m[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Do 02.05.2013 | | Autor: | edding |
huhuuu.. danke für die antwort, bei a) hat mir das sehr geholfen.
b) mit konkret meinst du, dass ich zahlen, statt buchstaben verwenden soll? xD
wie gehe ich jetzt bei c und d vor?-- betrachte ich jetzt ein [mm] f_3?
[/mm]
das mit dem neutralen element hab ich noch nicht ganz begriffen, bzw, wie man das untersuchen kann.
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Hallo nochmal,
> huhuuu.. danke für die antwort, bei a) hat mir das sehr
> geholfen.
Das freut mich zu hören ...
>
> b) mit konkret meinst du, dass ich zahlen, statt buchstaben
> verwenden soll? xD
Jo, die Verknüpfung ist nicht assoziativ, da solltest du nach einem (konkreten Zahlen-)Gegenbeispiel suchen ...
>
> wie gehe ich jetzt bei c und d vor?-- betrachte ich jetzt
> ein [mm]f_3?[/mm]
Ja, du nimmst 3 bel. Elemente aus [mm]Abb(A)[/mm] her, also etwa [mm]f_1,f_2,f_3[/mm] und musst zeigen, dass die Verknüpfung, die hier ja die Hintereinanderausführung von Funktionen ist, assoziativ ist.
Bei d) probiere mal selber mit ein paar Abbildungen aus, ob das wohl assoziativ ist oder nicht.
Wenn du der Meinung bist, die Verknüpfung in d) ist assoziativ, dann musst du das allg. zeigen (analog zu den anderen Aufgaben), wenn du meinst, dass sie nicht ass. ist, dass gib ein Gegenbsp. an ...
>
> das mit dem neutralen element hab ich noch nicht ganz
> begriffen, bzw, wie man das untersuchen kann.
Was genau denn daran?
Wie ist es denn bei b)
Da ist die Verknüpfung [mm]m\circ n:=m^n[/mm] mit [mm]m,n\in\IN[/mm]
Gibt es ein rechtsneutrales Element [mm]e_r\in\IN[/mm]?
Also eine nat. Zahl [mm] $e_r$ [/mm] mit [mm]m\circ e_r=m[/mm], also [mm]m^{e_r}=m[/mm]?
Klar, nämlich ...
Gibt es ein linksneutrales Element?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:20 So 05.05.2013 | | Autor: | edding |
ja super.. noch eine kurze frage.. ist es erst ein monoid, wenn es auch ein linksneutrales element hat? also praktisch muss ich dann m ° e = m und e ° m = m zeigen?
kann ich bei d) sagen, dass für [mm] (f_1 [/mm] ° [mm] f_2)(n) [/mm] z.B [mm] f_2 [/mm] eine funktion ist, die nur auf null abbildet?, dann wäre dies ja dann [mm] f_1°e=f_1 [/mm] oder irre ich mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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