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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:53 So 16.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Warum ist z.b. ({0,1,2,.....9},+) und ( [mm] \IR, [/mm] :) kein Verknüpfungdgebilde?
Und irgendwie kann ich mir beim Verknüpfungsgebilde ( [mm] \IQ^{ \IQ}) [/mm] nichts konkretes vorstellen. Ist [mm] \IQ^{ \IQ} [/mm] vielleicht [mm] \IQ \to \IQ?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 So 16.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Warum ist beispielsweise die Operation [mm] \circ [/mm] in ( [mm] \IR_{ \IR}, \circ) [/mm] assoziativ aber nicht kommutativ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 So 16.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Wegen
$[(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h](x) = (f [mm] \circ [/mm] g)(h(x)) = f(g(h(x)) = f ((g [mm] \circ [/mm] h)(x)) = [f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)](x)$
gilt
$(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h = f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)$,
d.h. die Operation [mm] $\circ$ [/mm] ist assoziativ.
Sie ist aber wegen nicht kommutativ,
denn wählen wir etwa [mm] $f(x)=e^x$ [/mm] und [mm] $g(x)=x^2$, [/mm] dann gilt:
$f(g(x)) [mm] \stackrel{(i.A.)}{\ne} [/mm] g(f(x))$,
etwa:
$f(g(3)) = [mm] e^9 \ne e^6 [/mm] = g(f(3))$.
Wir haben also:
$f [mm] \circ [/mm] g [mm] \ne [/mm] g [mm] \circ [/mm] f$.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:18 So 16.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
> Warum ist z.b. ({0,1,2,.....9},+) und ( [mm]\IR,[/mm] :) kein
> Verknüpfungdgebilde?
Wie habt ihr "Verknüpfungsgebilde" definiert? Ich gehe man aus, einfach als Menge $M$ mit einem zweistelligen Operator [mm] $\circ$ [/mm] :$M [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] M$.
1) Ich nehme mal an "+" ist hier die vererbte Addition von [mm] $\IZ$. [/mm] Dann ist [mm] $(\{0,1,2,\ldots,9\})$ [/mm] kein "Verknüpfungsgebilde", weil die Operation nicht abgeschlossen ist. So gilt $5+5=10 [mm] \notin \{0,1,2,\ldots,9\}$.
[/mm]
2) [mm] $(\IR,:)$ [/mm] ist kein "Verknüpfungsgebilde", weil $3:0$ nicht definiert ist.
> Und irgendwie kann ich mir beim Verknüpfungsgebilde (
> [mm]\IQ^{ \IQ})[/mm] nichts konkretes vorstellen. Ist [mm]\IQ^{ \IQ}[/mm]
> vielleicht [mm]\IQ \to \IQ?[/mm]
Ja, das sind alle Abbildungen von [mm] $\IQ$ [/mm] nach [mm] $\IQ$. [/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 16.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo irgendwie kann ich mir unter deiner Definition nichts konkretes darunter vorstellen: $ \circ $ :$ M \times M \to M $
Wenn ich die jetzt anwende auf z.b. ({0,1,2,.....9},+} heißt es dann dass egal was ich mit der Menge für Operationen anstelle ( MxM) iam Ende muss ich abbilden in M sprich {0,1,2,.....9}?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 So 16.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Wenn ich die jetzt anwende auf z.b. ({0,1,2,.....9},+)
> heißt es dann dass egal was ich mit der Menge für
> Operationen anstelle ( MxM) iam Ende muss ich abbilden in M
> sprich {0,1,2,.....9}?
das nennet man innere verknüpfung.
wenn du z.b. zwei ganze zahlen addierst, so hättetst du am ende ja auch wieder ganz gern eine ganze zahl. also kannst du die addition auffassen als [m] +: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} [/m]. das selbe macht man eben auch bei abstrakteren mathematischen objekten und fordert, dass diese eine innere verknüpfung haben damit man ihnen dann eine halbwegs vernünftige struktur verpassen zu könnnen.
grüße
andreas
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