Halbgruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Fr 15.07.2005 | | Autor: | papi84 |
Hallo an allen :)
ich habe eine Aufgabe gefunden ,aber ich habe ein bisschen Schwierigkeiten..so, die Auf ist:
Man zeige ,dass die Menge N der natürlichen Zahlen mit der Operation
[mm] \circ [/mm] : m [mm] \circ [/mm] n=ggT(m,n) eine Halbgruppe bildet.
oki, ich weiss dass ich Abgeschlossenheit und assoziativität zeigen muss, so ich dachte..
für Abgeschl. : m [mm] \circ [/mm] n=ggT(m,n) [mm] \in [/mm] N => ich muss zeigen, dass ggT(m,n) [mm] \in [/mm] N , aber ich habe keine Ahnung wie ich das formulieren muss???
für Assoz.: zu zeigen ist m [mm] \circ [/mm] (n [mm] \circ [/mm] p) = (m [mm] \circ [/mm] n ) [mm] \circ [/mm] p und ich habe das bekommen ggt(m,ggT(n,p)) muss = ggT(p,ggT(m,n)) ....das sieht nicht ganz gleich aus...so bitte Hilfe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Fr 15.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> für Abgeschl. : m $ [mm] \circ [/mm] $ n=ggT(m,n) $ [mm] \in [/mm] $ N => ich muss zeigen, dass ggT(m,n) $ [mm] \in [/mm] $ N , aber ich habe keine Ahnung wie ich das formulieren muss???
Das sollte aus der Definition der Abbildung $ggT$ klar sein. Diese wird nämlich entweder als Abbildung von [mm] $\IZ^2$ [/mm] nach [mm] $\IN$ [/mm] oder von [mm] $\IN^2$ [/mm] nach [mm] $\IN$ [/mm] definiert sein. Beides impliziert, dass [mm] $ggT(m,n)\in \IN$ [/mm] gilt. Das ist also eine Folge der Definition der ggT - viel beweisen kannst da nicht.
> für Assoz.: zu zeigen ist m $ [mm] \circ [/mm] $ (n $ [mm] \circ [/mm] $ p) = (m $ [mm] \circ [/mm] $ n ) $ [mm] \circ [/mm] $ p und ich habe das bekommen ggt(m,ggT(n,p)) muss = ggT(p,ggT(m,n)) ....das sieht nicht ganz gleich aus...so bitte Hilfe!!
Schrecklich. Ich hoffe mal, dass dir diese Aussage anschaulich klar ist. Eine Beweisidee wäre folgende: Seien [mm] $a,b,c\in\IN$. [/mm] Wir definieren [mm] $ggT:\IN^3\to\IN$ [/mm] durch [mm] $ggT(a,b,c)=\text{max}\{x\in\IN\vert \text{ x teilt a,b und c}\}$. [/mm] Dann gilt $ggT(ggT(a,b),c)=ggT(a,b,c)$. Beweis: nach Definition ist [mm] $ggT(ggT(a,b),c)\vert c\wedge ggT(ggT(a,b),c)\vert ggT(a,b)\Rightarrow ggT(ggT(a,b),c)\vert [/mm] a,b$; damit ist $ggT(ggT(a,b),c)$ Teiler von $a,b,c$, d.h. [mm] $ggT(ggT(a,b),c)\leq [/mm] ggT(a,b,c)$ nach Definition von $ggT(a,b,c)$. Umgekehrt ist [mm] $ggT(a,b,c)\vert [/mm] c, [mm] ggT(a,b,c)\vert a,b\Rightarrow ggT(a,b,c)\leq [/mm] ggT(a,b)$; es ist also $ggT(a,b,c)$ Teiler von $ggT(a,b)$ und von $c$, d.h. nach Definition von $ggT(ggT(a,b),c)$ folgt [mm] $ggT(a,b,c)\leq [/mm] ggT(ggT(a,b),c)$. Zusammen folgt [mm] $ggT(ggT(a,b),c)\leq ggT(a,b,c)\leq [/mm] ggT(ggT(a,b),c)$, was $ggT(ggT(a,b),c)=ggT(a,b,c)$ impliziert.
Somit ist [mm] $(a\circ b)\circ c=ggT(ggT(a,b),c)=ggT(a,b,c)=ggT(b,c,a)=ggT(ggT(b,c),a)=(b\circ c)\circ a=a\circ (b\circ [/mm] c)$.
Damit ist gezeigt, dass $N$ zusammen mit [mm] $\circ$ [/mm] eine (abelsche) Halbgruppe ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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