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| Aufgabe | Man definiere auf [mm] $\IQ$ [/mm] eine neue Addition durch
$x [mm] \oplus [/mm] y := [mm] \begin{cases} \frac{xy}{x+y} & \mbox{falls } x,y,x+y \neq 0 \\ x+y & \mbox{sonst } \end{cases}$ [/mm] für alle [mm] $x,y\in\IQ$
[/mm]
und zeige, daß auch [mm] $(\IQ, \oplus, \cdot)$ [/mm] ein Körper ist. |
Zu der o.g. Aufgabe möchte ich zunächst einmal zeigen, daß [mm] $(\IQ, \oplus)$ [/mm] eine Halbgruppe ist, also daß das Verknüpfungsgebilde [mm] $(\IQ, \oplus)$ [/mm] assoziativ ist.
Ich zweifle aber langsam daran, ob das wirklich so ist ...
Es ist doch zu zeigen, daß f.a. [mm] $x,y,z\in \IQ$ [/mm] gilt: [mm] $(x\oplus y)\oplus [/mm] z = [mm] x\oplus (y\oplus [/mm] z)$.
Ich behaupte aber nach etlichen Fallunterscheidungen, daß das nicht gilt. Dazu ein Gegenbeispiel:
Setze $x := -3$, $y := 3$ und $z := 5$.
Dann gilt:
[mm] $(x\oplus y)\oplus [/mm] z = (-3 [mm] \oplus [/mm] 3) [mm] \oplus [/mm] 5 = (-3 + [mm] 3)\oplus [/mm] 5 = 0 [mm] \oplus [/mm] 5 = 0+5 = 5$.
Andererseits gilt: [mm] $x\oplus (y\oplus [/mm] z) = -3 [mm] \oplus [/mm] (3 [mm] \oplus [/mm] 5) = -3 [mm] \oplus (\frac{15}{8}) [/mm] = [mm] \frac{-45}{5} [/mm] = -9$.
Also [mm] $(x\oplus y)\oplus [/mm] z [mm] \neq x\oplus (y\oplus [/mm] z)$. Toll ...
Mache ich etwas falsch, oder ist die Aufgabe unsinnig? Es ist doch üblich, daß bei Notationen wie im ersten Fall der Definition "falls $x$,$y$ UND $x+y$ ungleich sind", gemeint ist.
Falls die Aufgabenstellung nicht korrekt ist: Kann jemand "erahnen", wie die Aufgabe richtig lauten soll bzw. ob und wie das o.g. Verknüpfungsgebilde mit beiden Fällen assoziativ wird? (ich habe sie einem offiziellen Vorlesungs-Übungsblatt entnommen)?
Für einen Tipp wäre ich super dankbar! 
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Hallo,
ich errechne dasselbe wie Du.
Schreib: [mm] \IQ [/mm] ist mit dieser Addition kein Körper, weil ...
Gruß v. Angela
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