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| Aufgabe | | Die (2x2)-Matrizen [mm] M^{2x2} (\IR) [/mm] über dem Körper [mm] \IR [/mm] bilden bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe mit Eins. Man finde in [mm] M^{2x2} (\IR) [/mm] eine Unterhalbgruppe mit unendlich vielen Linkseinsen und ohne Rechtseins. |
Ich bin mir nicht sicher die Aufgabe richtig verstanden zu haben:
Mit "Halbgruppe mit Eins" ist gemeint, dass ich jede [mm] M^{2x2} (\IR) [/mm] mit dem neutralen Element [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] multiplizieren kann ohne das sich die Matrix ändert, stimmt das soweit?
Meine Aufgabe ist es nun eine Untergruppe der "Halbgruppe mit Eins" zu finden bei der diese Eigenschaft nur noch als Linkseins gegeben ist, aber dabei muss ich das neutrale Element doch auch ändern?
Linkseins: e * a = a
Rechtseins a* e = a
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 So 31.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Meine Aufgabe ist es nun eine Untergruppe der "Halbgruppe
> mit Eins" zu finden bei der diese Eigenschaft nur noch als
> Linkseins gegeben ist, aber dabei muss ich das neutrale
> Element doch auch ändern?
>
naja, klar ist doch, dass die Unterhalbgruppe die Matrix $ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $ nicht mehr enthalten kann, weil sie dann ja eine Rechtseins enthalten würde.
Du musst versuchen, eine Teilmenge von $ [mm] M^{2x2} (\IR) [/mm] $ zu finden, die multiplikativ abgeschlossen ist und in der es eben unendlich viele Linkseinsen gibt, irgendetwas in der Art wie "oben rechts steht immer eine 4, Rest egal" oder "die Summe in der ersten Spalte ist 4, Rest egal" oder ... (diese Beispiele funktionieren natürlich nicht).
Schreib dir am besten die Matrizenmultiplikation mit Variablen auf und gucke mal, was sich so machen lässt.
Gruß Sax.
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Hm...welche Unterhalbgruppen besitzt meine [mm] M^{2x2}-Matrix [/mm] denn?
Meiner Überlegung zufolge nur:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }; \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }; \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 So 31.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hm...welche Unterhalbgruppen besitzt meine [mm]M^{2x2}-Matrix[/mm]
> denn?
>
Du meinst ..meine Halbgruppe [mm] M^{2x2} [/mm] aller [mm] 2\times2-Matrizen
[/mm]
> Meiner Überlegung zufolge nur:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }; \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 1 }; \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }[/mm]
> und [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }[/mm] stimmt das?
So kann das nicht stimmen :
erstens hast du nur vier Matrizen A, ..., D angegeben, aber keine Menge, die dann Unterhalbgruppe wäre,
zweitens erfüllt zwar jede dieser Matrizen die Gleichung [mm] A^2 [/mm] = A, ... usw., aber z.B. {A} wäre auch keine der gesuchten Unterhalbgruppen, weil ja dann jedes Element dieser Halbgruppe auch Rechtseins wäre,
drittens wäre die Menge {A, B, C, D} (falls du das meinen solltest) keine Unterhalbgruppe, weil sie nicht multiplikativ abgeschlossen ist
Deine Idee lässt sich aber weiter verfolgen, du musst nicht ganz von vorne suchen.
Gruß Sax.
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