Halbgruppenhomomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:25 Di 10.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | Ist $\ (S, [mm] \*) [/mm] $ eine Halbgruppe und $\ s [mm] \in [/mm] S $, so ist die Potenzierungsabbildung
$\ [mm] p_s:\begin{cases} \IN \to S \\ n \mapsto s^n \end{cases} [/mm] $
ein Halbgruppenhomomorphismus $\ [mm] (\IN, [/mm] +) [mm] \to [/mm] (S, [mm] \*) [/mm] $ |
Hallo,
meine Frage ist eigentlich relativ knapp:
Ist gemäß dem oberen Fall $\ [mm] (\IN, [/mm] *) [mm] \to [/mm] (S, [mm] \*) [/mm] $ ebenfalls ein Halbgruppenhomomorphismus?
Die Multiplikation auf $\ [mm] \IN [/mm] $ ist assoziativ, somit spricht nichts dagegen, oder etwa doch?
Oder müsste im Fall $\ [mm] (\IN, [/mm] *) [mm] \to [/mm] (S, [mm] \*) [/mm] $ die Abbildung schon ganz anders aussehen?
Bzw. gibt es für eine einzige Abbildung verschiedene Halbgruppenhomomorphismen?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:30 Di 10.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ist [mm]\ (S, \*)[/mm] eine Halbgruppe und [mm]\ s \in S [/mm], so ist die
> Potenzierungsabbildung
>
> [mm]\ p_s:\begin{cases} \IN \to S \\ n \mapsto s^n \end{cases}[/mm]
>
> ein Halbgruppenhomomorphismus [mm]\ (\IN, +) \to (S, \*)[/mm]
>
> Hallo,
>
> meine Frage ist eigentlich relativ knapp:
>
> Ist gemäß dem oberen Fall [mm]\ (\IN, *) \to (S, \*)[/mm]
> ebenfalls ein Halbgruppenhomomorphismus?
Wenn das der Fall wäre, so wäre
[mm] $s^{n*m}= s^n*s^m$ [/mm] für $s [mm] \in [/mm] S$ und $n,m [mm] \in \IN$
[/mm]
FRED
>
> Die Multiplikation auf [mm]\ \IN[/mm] ist assoziativ, somit spricht
> nichts dagegen, oder etwa doch?
>
> Oder müsste im Fall [mm]\ (\IN, *) \to (S, \*)[/mm] die Abbildung
> schon ganz anders aussehen?
>
> Bzw. gibt es für eine einzige Abbildung verschiedene
> Halbgruppenhomomorphismen?
>
> Viele Grüße
> ChopSuey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:40 Di 10.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Fred,
jetzt isses klar!
Vielen Dank
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:16 Di 10.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo,
eine Frage hat sich mir eben noch gestellt.
Die assoziative Operation auf $\ S $, die die Halbgruppe $\ (S, [mm] \* [/mm] ) $ bildet, wird in der obigen Abbildung offensichtlich in multiplikativer Schreibweise verwendet.
In meinem Skript steht ausserdem:
$\ [mm] a^n \* a^m [/mm] = [mm] a^{n+m} [/mm] $
Gemäß dem Skript ist $\ [mm] \*$ [/mm] ein neutraler Operator. Aber in diesem Fall kann es sich ja nur um Multiplikation handeln.
Mich verwirrt nur, dass der Operator anscheinend neutral ist, dann aber in gewissen Beziehungen lediglich nur für einen Fall in Frage kommt.
Oder wird der Operator einfach nie angegeben, wenn man aus dem Kontext sofort erkennen kann, was mit $\ [mm] \*$ [/mm] gemeint ist?
Viele Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mi 11.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> eine Frage hat sich mir eben noch gestellt.
> Die assoziative Operation auf [mm]\ S [/mm], die die Halbgruppe [mm]\ (S, \* )[/mm]
> bildet, wird in der obigen Abbildung offensichtlich in
> multiplikativer Schreibweise verwendet.
Ja.
> In meinem Skript steht ausserdem:
>
> [mm]\ a^n \* a^m = a^{n+m}[/mm]
>
> Gemäß dem Skript ist [mm]\ \*[/mm] ein neutraler Operator. Aber in
> diesem Fall kann es sich ja nur um Multiplikation handeln.
Nein, es ist schon ein neutraler Operator, es wird einfach nur multiplikativ geschrieben. In additiver Schreibweise ist $n a + m a = (n + m) a$.
> Mich verwirrt nur, dass der Operator anscheinend neutral
> ist, dann aber in gewissen Beziehungen lediglich nur für
> einen Fall in Frage kommt.
>
> Oder wird der Operator einfach nie angegeben, wenn man aus
> dem Kontext sofort erkennen kann, was mit [mm]\ \*[/mm] gemeint
> ist?
Das wird oft nicht gemacht, ja. Solange du eh nur eine Operation auf $S$ hast, ist es eh klar womit da verknuepft wird.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:10 Do 12.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Felix,
vielen Dank für die Antwort.
Grüße
ChopSuey
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