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| Aufgabe | | Einer Halbkugel (Kugel) soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche einbeschrieben werden.Wie sind die Maße des Quaders zu wählen, wenn sein Volumen möglichst groß werden soll? |
Habe das mal gemacht weiss nicht ob es richtig ist. Aussderdem muss ich den definitionsbereich ermitteln sowie die zielfunktion skizzieren nur ich weiss nicht wie!
Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Extremalbedingung:
[mm] V=a^2*h
[/mm]
V(a,h)
Nebenbedingung:
[mm] r^2=h^2+(d/2)^2
[/mm]
[mm] r^2=h^2+2a^2/4
[/mm]
[mm] r^2=h^2+a^2/2
[/mm]
[mm] a^2=2r^2-2h^2
[/mm]
Zielfunktion:
[mm] V/a,h)=(2r^2-2h^2)*h
[/mm]
[mm] V(a,h)=2r^2h-2h^3
[/mm]
V´(a,h)= [mm] 2r^2-6h^2
[/mm]
[mm] V´(h)=-6h^2+2r^2
[/mm]
[mm] V´(h)=h^2-2r^2/6
[/mm]
[mm] V´(h)=h^2-1/3r^2
[/mm]
V´(h)=0 [mm] \gdw h^2-1/3r^2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] xE=0 v [mm] xE=\wurzel{1/3}r
[/mm]
xe wären also meine extrema wo das volumen des quaders am größten sind oder wäre nur [mm] xE=\wurzel{1/3}r [/mm] zu nennen wo das volumen am größten wäre???
Wie ist mein Definitionsbereich??
[d]???
und wie sieht die zielfunktion skizziert aus ich weiss ja nur die grenzwerte und die extrema
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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> > V'(h)=0 [mm]\gdw h^2-1/3r^2=0[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] xE=0 v [mm]xE=\wurzel{1/3}r[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo kommen plötzlich die [mm]x_e[/mm] her? Und wie kommst Du
> auf den Wert "= 0" ?
>
Ich komme darauf weil ich die pq formel angewendet habe und h als mein [mm] x^2 [/mm] betrachtet habe
>
> > xe wären also meine extrema wo das volumen des quaders am
> > größten sind oder wäre nur [mm]xE=\wurzel{1/3}r[/mm] zu nennen wo
> > das volumen am größten wäre???
>
> Erst einmal musst Du überprüfen (2. Ableitung), ob es sich
> überhaupt um ein Extremum handelt und welcher Art es ist.
>
>
> > Wie ist mein Definitionsbereich??
> > [d]???
>
> Schaue Dir die Zeichnung an. Kann [mm]h_[/mm] auch Werte größer [mm]r_[/mm]
> annehmen?
>
>
> > und wie sieht die zielfunktion skizziert aus ich weiss ja
> > nur die grenzwerte und die extrema
>
> Siehe oben: es handelt sich um eine Funktion 3. Grades.
>
>
> Gruß
> Loddar
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Hallo, du hattest doch
[mm] V'(h)=2r^{2}-6h^{2}
[/mm]
[mm] 0=2r^{2}-6h^{2}
[/mm]
[mm] 6h^{2}=2r^{2}
[/mm]
[mm] h^{2}=\bruch{1}{3}r^{2}
[/mm]
[mm] h_1= [/mm] .... und [mm] h_2= [/mm] ....
die p-q-Formel benötigst du nicht,
die 2. Ableitung sollte dann kein Problem sein,
Steffi
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r kann nicht größer h werden da die beiden voneinander abhäni sind aber wie lautet mein definitionsbereich
der müsste r sein da r der radius der halbkugel ist und h die höhe des quadrates oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
> r kann nicht größer h werden da die beiden voneinander abhäni sind
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber wie lautet mein definitionsbereich
Wie wäre es denn z.B. mit:
[mm] $$D_h [/mm] \ := \ [mm] \left\{ \ h,r\in\IR \ | \ \ 0 \ \le \ h \ \le \ r \ \right\}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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