Halbkugeln, Integralgrenzen? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Huhu!
Ich habe mich mal ein bisschen mit der parmetrisierung der kugelkoordinaten beschäftig, also wenn man aufgaben umparametrisiert mit
(r sin(x) cos(y), r sin(x) sin(y), r cos(x))
so wie man es kennt (http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten)
Die Graphik hab ich mir auch angeguckt, aber bin mir nicht im Klaren.
Normalerweise haben wir bei der Einheitskugel (oder jeder anderen "ganzen" Kugel)
die Integralgrenzen [mm] \integral_{0}^{\pi}{ dx} \integral_{0}^{2 \pi}{dy}
[/mm]
Mir wurde das mal so erklärt, dass man den einen Winkel nur bis [mm] \pi [/mm] laufen lässt, damit man die Kugel nicht zweimal abläuft.
Wie ändern sich nun die Grenzen, falls ich beispielsweise nur die folgenden Halbkugeln betrachte?
1) [mm] x^2 +y^2 +z^2 \le R^2 [/mm] , x [mm] \ge [/mm] 0
2) [mm] x^2 +y^2 +z^2 \le R^2 [/mm] , y [mm] \ge [/mm] 0
3) [mm] x^2 +y^2 +z^2 \le R^2 [/mm] , z [mm] \ge [/mm] 0
Hoffe ihr kennt den Trick bei der Umänderung der Grenzen :)
Lg,
Eve
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Di 11.02.2014 | | Autor: | chrisno |
> Huhu!
Hilfe, ich erschrecke.
> ....
> (http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten)
> Die Graphik hab ich mir auch angeguckt, aber bin mir nicht
> im Klaren.
halte die bereit
>....
> die Integralgrenzen [mm]\integral_{0}^{\pi}{ dx} \integral_{0}^{2 \pi}{dy}[/mm]
dx und dy ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>....
> Wie ändern sich nun die Grenzen, falls ich beispielsweise
> nur die folgenden Halbkugeln betrachte?
>
> 1) [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le R^2[/mm] , x [mm]\ge[/mm] 0
Schau den blauen Vektor an. Der muss auf der Seite der y-Achse bleiben, auf der er gerade ist.
Das beschränkt den Wertebereich für den Azimutwinkel. Der Polarwinkel wird nicht weiter eingeschränkt.
>
> 2) [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le R^2[/mm] , y [mm]\ge[/mm] 0
Wie eben, nur auf der richtigen Seite der y-Achse bleiben.
>
> 3) [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le R^2[/mm] , z [mm]\ge[/mm] 0
Nur der Polarwinkel wird eingeschränkt. Er darf nicht dazu führen, dass r in den Keller zeigt.
>
> Hoffe ihr kennt den Trick bei der Umänderung der Grenzen
Ich sehe da keinen Trick.
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> > Huhu!
> Hilfe, ich erschrecke.
> > ....
> > (http://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten)
> > Die Graphik hab ich mir auch angeguckt, aber bin mir
> nicht
> > im Klaren.
> halte die bereit
> >....
> > die Integralgrenzen [mm]\integral_{0}^{\pi}{ dx} \integral_{0}^{2 \pi}{dy}[/mm]
>
> dx und dy
> >....
> > Wie ändern sich nun die Grenzen, falls ich beispielsweise
> > nur die folgenden Halbkugeln betrachte?
> >
> > 1) [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le R^2[/mm] , x [mm]\ge[/mm] 0
> Schau den blauen Vektor an. Der muss auf der Seite der
> y-Achse bleiben, auf der er gerade ist.
> Das beschränkt den Wertebereich für den Azimutwinkel. Der
> Polarwinkel wird nicht weiter eingeschränkt.
> >
> > 2) [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le R^2[/mm] , y [mm]\ge[/mm] 0
> Wie eben, nur auf der richtigen Seite der y-Achse
> bleiben.
> >
> > 3) [mm]x^2 +y^2 +z^2 \le R^2[/mm] , z [mm]\ge[/mm] 0
> Nur der Polarwinkel wird eingeschränkt. Er darf nicht
> dazu führen, dass r in den Keller zeigt.
> >
> > Hoffe ihr kennt den Trick bei der Umänderung der Grenzen
> Ich sehe da keinen Trick.
>
Also für mich würde sich ergeben:
1) Für den Azimutwinkel würden sich die Grenzen [mm] \bruch{3}{2} \pi [/mm] bis [mm] \bruch{1}{2} \pi [/mm] ergeben
2) Für den Azimutwinkel die Grenzen 0 bis [mm] \pi
[/mm]
3) Für den Polarwinkel von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
