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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:05 Fr 15.07.2011 | | Autor: | mb588 |
Hallo.
ich beschäftige mich gerade mit der Schrödingergleichung in Halbleiter-Quanten-Tröge (HQT). Es geht dabei um die Motivation, warum man die Elektronen im Leitungsband, getrennt von den Löchern im Valenzband betrachtet. Die Lösung und auch die Herleitung dafür hab ich, aber leider verstehe ich dabei nicht alles! Es handelt sich ja um ein Zwei-Körper-Problem, also:
[mm] \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{h}+V(z_{e})+V(z_{h})+V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\psi(\vec{r}_{e},\vec{r}_{h})=E\psi(\vec{r}_{e},\vec{r}_{h})
[/mm]
Dabei ist e...Elektron und h...Loch und [mm] V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h}) [/mm] ist die Coulombwechselwirkung.
Jetzt wählt man den Ansatz:
[mm] \psi(\vec{r}_{e},\vec{r}_{h})=\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}}) [/mm] mit [mm] r_{e,h}=(\vec{\rho}_{e,h},z_{e,h})=(x_{e,h},y_{e,h},z_{e,h})
[/mm]
Das wird in der ersten Formel eingesetzt:
[mm] \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{h}+V(z_{e})+V(z_{h})+V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})
[/mm]
Daraus folgt (dieses Schritt verstehe ich nicht):
[mm] \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,h}+E_{e}+E_{h}+V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})
[/mm]
Jetzt wird die gesamte Gleichung mit:
[mm] \int dz_{e}\int dz_{h} \phi^{\*}(z_{e})\phi^{\*}(z_{h})
[/mm]
Dann folgt:
[mm] \left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,h}+E_{e}+E_{h}+\int dz_{e}\int dz_{h} \phi^{\*}(z_{e})\phi^{\*}(z_{h})V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})
[/mm]
Das ist denke ich klar. Auf der linken Seite der Gleichung geht das Integral überall vorbei, außer bei [mm] V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h}), [/mm] weil dies noch von z abhängt, Auf der rechten Seite steht nur noch [mm] E\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}}), [/mm] weil auf Grund der Normierung gilt:
[mm] \int dz_{e}\int dz_{h} |\phi(z_{e})|^{2}|\phi(z_{h})|^{2}=1
[/mm]
Die Motivation besteht nun darin, dass dieses Integral auf der linken Seite analytisch nur schwer Lösbar ist und deshalb betrachtet man die Elektronen getrennt von den Löcher! Ist das soweit richtig? Könntet einer mir den Schritt erklären den ich nicht verstehe?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Sa 16.07.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo.
>
> ich beschäftige mich gerade mit der Schrödingergleichung
> in Halbleiter-Quanten-Tröge (HQT). Es geht dabei um die
> Motivation, warum man die Elektronen im Leitungsband,
> getrennt von den Löchern im Valenzband betrachtet. Die
> Lösung und auch die Herleitung dafür hab ich, aber leider
> verstehe ich dabei nicht alles! Es handelt sich ja um ein
> Zwei-Körper-Problem, also:
>
> [mm]\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{h}+V(z_{e})+V(z_{h})+V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\psi(\vec{r}_{e},\vec{r}_{h})=E\psi(\vec{r}_{e},\vec{r}_{h})[/mm]
>
> Dabei ist e...Elektron und h...Loch und
> [mm]V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})[/mm] ist die Coulombwechselwirkung.
>
> Jetzt wählt man den Ansatz:
>
> [mm]\psi(\vec{r}_{e},\vec{r}_{h})=\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})[/mm]
> mit
> [mm]r_{e,h}=(\vec{\rho}_{e,h},z_{e,h})=(x_{e,h},y_{e,h},z_{e,h})[/mm]
>
> Das wird in der ersten Formel eingesetzt:
>
> [mm]\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{h}+V(z_{e})+V(z_{h})+V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})[/mm]
>
> Daraus folgt (dieses Schritt verstehe ich nicht):
>
> [mm]\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,h}+E_{e}+E_{h}+V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})[/mm]
Das ist die Anwendung der Schrödingergleichung für [mm] $\phi_e$ [/mm] und [mm] $\phi_h$. [/mm] Es ist
[mm] \Delta_{e} = \Delta_{\rho,e}+\bruch{\partial^2}{\partial z_e^2} [/mm]
und
[mm]\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}} \bruch{\partial^2}{\partial z_e^2}+V(z_e)\right)\phi_{e}(z_{e})=E_e \phi_{e}(z_{e}) [/mm],
analog für [mm] $\phi_h$.
[/mm]
> Jetzt wird die gesamte Gleichung mit:
>
> [mm]\int dz_{e}\int dz_{h} \phi^{\*}(z_{e})\phi^{\*}(z_{h})[/mm]
>
> Dann folgt:
>
> [mm]\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,h}+E_{e}+E_{h}+\int dz_{e}\int dz_{h} \phi^{\*}(z_{e})\phi^{\*}(z_{h})V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\right]\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})[/mm]
Stimmt nicht ganz:
[mm]\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,h}+E_{e}+E_{h}+\left(\int dz_{e}\int dz_{h} \phi^{\*}(z_{e})\phi^{\*}(z_{h})V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h})\phi_{e}(z_{e})\phi_{h}(z_{h})\right)\right]\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})[/mm]
> Das ist denke ich klar. Auf der linken Seite der Gleichung
> geht das Integral überall vorbei, außer bei
> [mm]V(\vec{r}_{e}-\vec{r}_{h}),[/mm] weil dies noch von z abhängt,
> Auf der rechten Seite steht nur noch
> [mm]E\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}}),[/mm] weil auf Grund der
> Normierung gilt:
>
> [mm]\int dz_{e}\int dz_{h} |\phi(z_{e})|^{2}|\phi(z_{h})|^{2}=1[/mm]
>
> Die Motivation besteht nun darin, dass dieses Integral auf
> der linken Seite analytisch nur schwer Lösbar ist und
> deshalb betrachtet man die Elektronen getrennt von den
> Löcher! Ist das soweit richtig?
Ich glaube nicht, das "es ist zu schwierig, dies auszurechnen" eine gute physikalsiche Motivation ist. Ich verstehe auch noch nicht, was du damit meinst, das Elektronen getrennt von Löchern betrachtet werden.
Ein Hinweis noch: das Integral in runden Klammern ergibt eine Potentialfunktion, die nur von der Differenz [mm] $(\rho_e-\rho_h)$ [/mm] abhängt, sodass am Schluss diese Schrödingergleichung dasteht:
[mm]\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,e}-\frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\Delta_{\rho,h}+E_{e}+E_{h}+\tilde V(\rho_e-\rho_h)\right]\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})=E\eta(\vec{\rho_{e}},\vec{\rho_{h}})[/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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