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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:36 Mo 16.04.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | a) M ist eine Menge, [mm] M^{\IN} [/mm] die menge aller Folgen mit Gliedern aus M. Beweise oder widerlege die Behauptung:
Die auf [mm] M^{\IN} [/mm] durch [mm] (x_k)_k<(y_k)_k: \gdw (x_k)_k [/mm] ist eine Teilfolge von [mm] (y_k)_k [/mm] definierte Relation ist eine Halbordnung. |
Eine Halbordnung muss reflexiv, transitiv, antisymmetrisch sein. das muss gezeigt werden. Wegen [mm] \gdw [/mm] müssen zwei Richtungen gezeigt werden, aber dazu hab ich grad keine Idee.
Wie zeigt man mit dieser Teilfolge diese Eigenschaften?
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Mo 16.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) M ist eine Menge, [mm]M^{\IN}[/mm] die menge aller Folgen mit
> Gliedern aus M. Beweise oder widerlege die Behauptung:
>
> Die auf [mm]M^{\IN}[/mm] durch [mm](x_k)_k<(y_k)_k: \gdw (x_k)_k[/mm] ist
> eine Teilfolge von [mm](y_k)_k[/mm] definierte Relation ist eine
> Halbordnung.
> Eine Halbordnung muss reflexiv, transitiv, antisymmetrisch
> sein. das muss gezeigt werden. Wegen [mm]\gdw[/mm] müssen zwei
> Richtungen gezeigt werden,
Was ????
Du mußt zeigen oder widerlegen:
reflexiv, transitiv, antisymmetrisch
Das [mm]\gdw[/mm] bezieht sich auf die DEf. von "<"
Reflexiv ist Pippifax: eine Folge ist Teilfolge von sich selbst.
Transitiv: sei [mm] (x_k) [/mm] eine Teilfolge von [mm] (y_k) [/mm] und [mm] (y_k) [/mm] eine Teilfolge [mm] von(z_k). [/mm] Ist nun [mm] (x_k) [/mm] eine Teilfolge von [mm] (z_k) [/mm] ?
Den Rest probierst Du .
FRED
> aber dazu hab ich grad keine
> Idee.
>
> Wie zeigt man mit dieser Teilfolge diese Eigenschaften?
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mo 16.04.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] a_k:=\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] b_k:=k
[/mm]
[mm] c_k:=2^k
[/mm]
[mm] d_k:=k-1
[/mm]
[mm] e_k:=2^{-k}
[/mm]
[mm] f_k:=5
[/mm]
Ordne a,b,c,d,e,f der Reihe nach an wie die Uhrzeiten 1,3,5,7,9,11
Trage dann Pfeile ein, wo eine wie eben definierte Ordnungsrelation besteht. |
Naja bei der Transitivität gilt das was du egschrieben hast: ist [mm] x_k [/mm] eine Teilfolge von [mm] y_k [/mm] und [mm] y_k [/mm] eine Teilfolge von [mm] z_k [/mm] dann ist [mm] x_k [/mm] eine teilfolge von [mm] z_k, [/mm] denn die Teilmenge einer Teilmenge von [mm] z_k [/mm] auch Teilmenge von [mm] z_k [/mm] ist.
antisymmetrisch. [mm] x_k [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] y_k [/mm] und [mm] y_k [/mm] ist gleichzeitig auch Teilmenge von [mm] x_k [/mm] dann sind [mm] x_k [/mm] und [mm] y_k [/mm] gleich.
Stimmts so?
Zur gestellten Aufgabe:
Ich habe das mal dargestellt. dann müsste doch:
[mm] e_k
[mm] e_k
[mm] d_k
[mm] f_k
Richtig?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mo 16.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo heinze,
> antisymmetrisch. [mm]x_k[/mm] ist eine Teilmenge von [mm]y_k[/mm] und [mm]y_k[/mm] ist
> gleichzeitig auch Teilmenge von [mm]x_k[/mm] dann sind [mm]x_k[/mm] und [mm]y_k[/mm]
> gleich.
Für Teilmengen ist das richtig, für Teilfolgen nicht.
Betrachte mal die Folgen [mm] $x=(1,2,1,2,1,2,\ldots)$ [/mm] und [mm] $y=(2,1,2,1,2,1,\ldots)$.
[/mm]
> [mm]a_k:=\bruch{1}{k}[/mm]
> [mm]b_k:=k[/mm]
> [mm]c_k:=2^k[/mm]
> [mm]d_k:=k-1[/mm]
> [mm]e_k:=2^{-k}[/mm]
> [mm]f_k:=5[/mm]
> Ich habe das mal dargestellt. dann müsste doch:
> [mm]e_k
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]e_k
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> [mm]d_k
> [mm]f_k
Stimmt zwar, aber dann müsstest du auch a<a, b<b, ... aufführen.
Es fehlen noch drei weitere Paare von Folgen, wenn ich mich nicht vertan habe.
Schreibe dir den Anfang der Folgen mal aus, wie ich es bei x und y getan habe. Dann siehst du leichter, welche Teilfolgenrelationen bestehen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Do 19.04.2012 | | Autor: | triad |
hallo,
$ [mm] c_k
dasselbe bei $ [mm] e_k
wenn $ [mm] c_k
$ [mm] b_k
$ [mm] f_k
$ [mm] f_k
Bei den beiden bin ich mir unsicher, geht das mit der konstanten folge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Do 19.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Das sieht gut aus!
> [mm]c_k
> enthalten.
> dasselbe bei [mm]e_k
> wenn [mm]c_k
> (0,1,2,3,...) enthalten.
> [mm]b_k
> [mm]f_k
> auch
>
> [mm]f_k
>
> Bei den beiden bin ich mir unsicher, geht das mit der
> konstanten folge?
Damit die konstante Folge (5,5,5,5,...) Teilfolge einer Folge a ist, muss die 5 in a unendlich oft vorkommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 So 22.04.2012 | | Autor: | heinze |
gilt nicht auch noch [mm] e_k
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> gilt nicht auch noch [mm]e_k
Ja
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Fr 20.04.2012 | | Autor: | triad |
>
> Betrachte mal die Folgen [mm]x=(1,2,1,2,1,2,\ldots)[/mm] und
> [mm]y=(2,1,2,1,2,1,\ldots)[/mm].
Wählt man diese Folgen, dann gilt zwar [mm] (x_k)<(y_k) [/mm] und [mm] (y_k)<(x_k), [/mm] aber daraus würde ja folgen, dass sie gleich sind, was in dem Fall nicht stimmt. Also ist dies keine Halbordnung, weil die Antisymmetrie verletzt ist? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Betrachte mal die Folgen [mm]x=(1,2,1,2,1,2,\ldots)[/mm] und
> > [mm]y=(2,1,2,1,2,1,\ldots)[/mm].
>
> Wählt man diese Folgen, dann gilt zwar [mm](x_k)<(y_k)[/mm] und
> [mm](y_k)<(x_k),[/mm] aber daraus würde ja folgen, dass sie gleich
> sind, was in dem Fall nicht stimmt. Also ist dies keine
> Halbordnung, weil die Antisymmetrie verletzt ist?
>
Warum ? Alles völlig richtig!
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