Hamiltonfunktion u. -Gleichung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:20 Do 28.01.2010 | | Autor: | notinX |
| Aufgabe | Ein System wird durch die Lagrangefunktion
[mm] $L(r,\dot{r},\dot{\varphi})=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\alpha)-mgr\cos\alpha$
[/mm]
beschrieben. Stellen Sie die Hamiltonfunktion und die Hamiltonschen Gleichungen auf. |
Also zuerst kümmere ich mich mal um die generalisierten (kanonischen) Impulse:
[mm] $p_{r}=\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r}\Rightarrow\dot{r}=\frac{p_{r}}{m}$
[/mm]
[mm] $p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^{2}\dot{\varphi}\sin^{2}\alpha\Rightarrow\dot{\varphi}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}$
[/mm]
Wenn man das nun in die Lagrangefunktion einsetzt sieht sie so aus:
[mm] $\tilde{L}=\frac{m}{2}\left(\frac{p_{r}^{2}}{m^{2}}+r^{2}\frac{p_{\varphi}^{2}}{m^{2}r^{4}\sin^{4}\alpha}\sin^{2}\alpha\right)-mgr\cos\alpha=\frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}-mgr\cos\alpha$
[/mm]
per Definition gilt für die Hamiltonfunktion:
[mm] $H(q,p,t)=\sum_{i=1}^{f}\dot{q}_{i}(q,p,t)p_{i}-\tilde{L}$
[/mm]
Wieso wird eigentlich von i bis f summiert? f bezeichnet doch die Anzahl der Freiheitsgrade und das ist in diesem Fall drei. Bei den kanonischen Impulsen kümmert man sich doch aber nur um generalisierte Geschwindigkeiten (in diesem Fall [mm] $\dot{r}$ [/mm] und [mm] $\dot{\varphi}$) [/mm] und nicht und die "nackten" Koordinaten ($r$). Also wird doch nur bis f=2 summiert und nicht bis f=3, oder?
Ich mach mal so weiter wie ich denke.
Wenn ich die [mm] $\sum_{i=1}^{2}\dot{q}_{i}(q,p,t)p_{i}$ [/mm] (also [mm] $p_{r}\cdot\dot{r}=m\dot{r}^{2}$ [/mm] und [mm] $p_{\varphi}\cdot\dot{\varphi}=mr^{2}\dot{\varphi^{2}}\sin^{2}\alpha$) [/mm] einsetze habe ich wieder Geschwindigkeiten in der Funktion und das will Hamilton ja eigentlich nicht...
[mm] $H(q,p,t)=m\dot{r}^{2}+mr^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\alpha-\tilde{L}$
[/mm]
Weiß jemand, was ich falsch gemacht habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:30 Do 28.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ein System wird durch die Lagrangefunktion
> [mm]L(r,\dot{r},\dot{\varphi})=\frac{m}{2}(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\varphi}^{2}\sin^{2}\alpha)-mgr\cos\alpha[/mm]
> beschrieben. Stellen Sie die Hamiltonfunktion und die
> Hamiltonschen Gleichungen auf.
> Also zuerst kümmere ich mich mal um die generalisierten
> (kanonischen) Impulse:
> [mm]p_{r}=\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r}\Rightarrow\dot{r}=\frac{p_{r}}{m}[/mm]
>
> [mm]p_{\varphi}=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=mr^{2}\dot{\varphi}\sin^{2}\alpha\Rightarrow\dot{\varphi}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}[/mm]
>
> Wenn man das nun in die Lagrangefunktion einsetzt sieht sie
> so aus:
>
> [mm]\tilde{L}=\frac{m}{2}\left(\frac{p_{r}^{2}}{m^{2}}+r^{2}\frac{p_{\varphi}^{2}}{m^{2}r^{4}\sin^{4}\alpha}\sin^{2}\alpha\right)-mgr\cos\alpha=\frac{p_{r}^{2}}{2m}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}-mgr\cos\alpha[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> per Definition gilt für die Hamiltonfunktion:
> [mm]H(q,p,t)=\sum_{i=1}^{f}\dot{q}_{i}(q,p,t)p_{i}-\tilde{L}[/mm]
> Wieso wird eigentlich von i bis f summiert? f bezeichnet
> doch die Anzahl der Freiheitsgrade und das ist in diesem
> Fall drei.
Wieso drei? Ich sehe nur zwei generalisierte Koordinaten.
> Bei den kanonischen Impulsen kümmert man sich
> doch aber nur um generalisierte Geschwindigkeiten (in
> diesem Fall [mm]\dot{r}[/mm] und [mm]\dot{\varphi}[/mm]) und nicht und die
> "nackten" Koordinaten ([mm]r[/mm]). Also wird doch nur bis f=2
> summiert und nicht bis f=3, oder?
>
> Ich mach mal so weiter wie ich denke.
> Wenn ich die [mm]\sum_{i=1}^{2}\dot{q}_{i}(q,p,t)p_{i}[/mm] (also
> [mm]p_{r}\cdot\dot{r}=m\dot{r}^{2}[/mm] und
> [mm]p_{\varphi}\cdot\dot{\varphi}=mr^{2}\dot{\varphi^{2}}\sin^{2}\alpha[/mm])
> einsetze habe ich wieder Geschwindigkeiten in der Funktion
> und das will Hamilton ja eigentlich nicht...
In der Formel steht doch eindeutig [mm] $\dot{q}_{i}(q,p,t)$, [/mm] also musst du die [mm] $\dot [/mm] q$'s durch die $q$'s und $p$'s ausdrücken, nicht umgekehrt. Also:
[mm] H=\dot r p_r + \dot \varphi p_\varphi -\tilde L = \bruch{p_r^2}{m} + \bruch{p_\varphi^2}{mr^{2}\sin^{2}\alpha} -\frac{p_{r}^{2}}{2m}-\frac{p_{\varphi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+ mgr\cos\alpha = \frac{p_{r}^{2}}{2m} + \frac{p_{\varphi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+ mgr\cos\alpha [/mm] .
Es komt also die Summe aus kinetischer und potentieller Energie in Polarkoordinaten heraus. Passt doch 
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Do 28.01.2010 | | Autor: | notinX |
> > per Definition gilt für die Hamiltonfunktion:
> >
> [mm]H(q,p,t)=\sum_{i=1}^{f}\dot{q}_{i}(q,p,t)p_{i}-\tilde{L}[/mm]
> > Wieso wird eigentlich von i bis f summiert? f
> bezeichnet
> > doch die Anzahl der Freiheitsgrade und das ist in diesem
> > Fall drei.
>
> Wieso drei? Ich sehe nur zwei generalisierte Koordinaten.
Ja, Du hast natürlich Recht, ich habe fälschlicherweise $r$ und [mm] $\dot{r}$ [/mm] jeweils als eine Koordinate gezählt.
> In der Formel steht doch eindeutig [mm]\dot{q}_{i}(q,p,t)[/mm], also
> musst du die [mm]\dot q[/mm]'s durch die [mm]q[/mm]'s und [mm]p[/mm]'s ausdrücken,
> nicht umgekehrt. Also:
>
> [mm]H=\dot r p_r + \dot \varphi p_\varphi -\tilde L = \bruch{p_r^2}{m} + \bruch{p_\varphi^2}{mr^{2}\sin^{2}\alpha} -\frac{p_{r}^{2}}{2m}-\frac{p_{\varphi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+ mgr\cos\alpha = \frac{p_{r}^{2}}{2m} + \frac{p_{\varphi}^{2}}{2mr^{2}\sin^{2}\alpha}+ mgr\cos\alpha[/mm]
> .
>
> Es komt also die Summe aus kinetischer und potentieller
> Energie in Polarkoordinaten heraus. Passt doch
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Ja stimmt... danke.
Nun zu dem Hamilton-Gleichungen, diese lauten, wenn ich mich nicht verrechnet habe wie folgt:
[mm] $\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\varphi}^{2}}{mr^{3}\sin^{2}\alpha}+mg\cos\alpha$
[/mm]
[mm] $\dot{p}_{\varphi}=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0$
[/mm]
[mm] $\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}$
[/mm]
[mm] $\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}$
[/mm]
Aber was kann ich damit jetzt anfangen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Do 28.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Nun zu dem Hamilton-Gleichungen, diese lauten, wenn ich
> mich nicht verrechnet habe wie folgt:
> [mm]\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial r}=\frac{p_{\varphi}^{2}}{mr^{3}\sin^{2}\alpha}+mg\cos\alpha[/mm]
[mm] \dot{p}_{r}=\frac{p_{\varphi}^{2}}{mr^{3}\sin^{2}\alpha}\red{-}mg\cos\alpha[/mm]
> [mm]\dot{p}_{\varphi}=-\frac{\partial H}{\partial\varphi}=0[/mm]
>
> [mm]\dot{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}}=\frac{p_{r}}{m}[/mm]
>
> [mm]\dot{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\frac{p_{\varphi}}{mr^{2}\sin^{2}\alpha}[/mm]
> Aber was kann ich damit jetzt anfangen?
Die Gleichungen lösen?
Du hast zwar doppelt soviele Differentialgleichungen wie im Lagrangeformalismus, aber dafür sind sie nur 1. Ordnung.
Ein weiterer Vorteil: du siehst sofort, dass der generalisierte Impuls zur Koordinate [mm] $\varphi$ [/mm] konstant ist. Damit entkoppeln die Gleichungen: du musst nur noch die 1. und 3. Gleichunge zusammen lösen, die Ergebnisse in die 4. einsetzen und einmal integrieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Sa 30.01.2010 | | Autor: | notinX |
Ja, das macht Sinn.
Ich danke Dir.
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