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Hamming-Abstand: Translationsinvariant
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mi 07.01.2015
Autor: Marcel

Aufgabe
Hallo,

der Hamming-Abstand zweier Vektoren $u,v [mm] \in K^n$ ("$K\,$": [/mm] Gruppe) werde definiert über

    [mm] $d(u,v):=|\{i \in \{1,...,n\}:\;\; u_i \not=v_i\}|$ [/mm]

Behauptung: Ist $(K,+)$ eine abelsche Gruppe, so gilt

    $d(u,v)=d(u+w,v+w)$

für alle $u,v,w [mm] \in K^n.$ [/mm]



Diesen Satz findet man in "Codierungstheorie und Kryptographie" vom
Birkhäuser Verlag, Mathematik kompakt.

Im Beweis wird dann verwendet, dass

   (*) [mm] $u_i+w_i \not=v_i+w_i$ $\iff$ $u_i \not=v_i$ [/mm] (jeweils $i=1,...,n$)

gilt, und das soll anscheinend begründen, warum man die Kommutativität
braucht.

Ich denke allerdings, dass da irgendwas anderes stehen sollte. Denn wenn
$(K,+)$ nur irgendeine - als nicht notwendig - abelsche Gruppe ist, gilt doch
(jeweils für alle $i=1,...,n$) sofort

    [mm] $u_i=v_i$ $\Rightarrow$ $u_i+w_i=v_i+w_i$ [/mm]

und damit [mm] $\Rightarrow$ [/mm] in (*).

Weiter gilt aber auch

    [mm] $u_i+w_i=v_i+w_i$ $\Rightarrow$ $(u_i+w_i)+(-w_i)=(v_i+w_i)+(-w_i)$ $\Rightarrow$ [/mm] ... [mm] $\Rightarrow$ $u_i=v_i$, [/mm]

also [mm] $\Leftarrow$ [/mm] in (*).

Daher frage ich mich: An dieser Stelle braucht man doch die Kommutativität
gar nicht. Braucht man sie denn überhaupt? Und wenn ja: Wo geht sie im
Beweis ein?

Gruß,
  Marcel

        
Bezug
Hamming-Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:18 Do 08.01.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> der Hamming-Abstand zweier Vektoren [mm]u,v \in K^n[/mm] ("[mm]K\,[/mm]":
> Gruppe) werde definiert über
>  
> [mm]d(u,v):=|\{i \in \{1,...,n\}:\;\; u_i \not=v_i\}|[/mm]
>  
> Behauptung: Ist [mm](K,+)[/mm] eine abelsche Gruppe, so gilt
>  
> [mm]d(u,v)=d(u+w,v+w)[/mm]
>  
> für alle [mm]u,v,w \in K^n.[/mm]
>  
>
> Diesen Satz findet man in "Codierungstheorie und
> Kryptographie" vom
>  Birkhäuser Verlag, Mathematik kompakt.
>  
> Im Beweis wird dann verwendet, dass
>  
> (*) [mm]u_i+w_i \not=v_i+w_i[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]u_i \not=v_i[/mm] (jeweils
> [mm]i=1,...,n[/mm])
>  
> gilt, und das soll anscheinend begründen, warum man die
> Kommutativität
>  braucht.
>  
> Ich denke allerdings, dass da irgendwas anderes stehen
> sollte. Denn wenn
>  [mm](K,+)[/mm] nur irgendeine - als nicht notwendig - abelsche
> Gruppe ist, gilt doch
> (jeweils für alle [mm]i=1,...,n[/mm]) sofort
>  
> [mm]u_i=v_i[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]u_i+w_i=v_i+w_i[/mm]
>
> und damit [mm]\Rightarrow[/mm] in (*).
>  
> Weiter gilt aber auch
>  
> [mm]u_i+w_i=v_i+w_i[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm](u_i+w_i)+(-w_i)=(v_i+w_i)+(-w_i)[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] ...
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]u_i=v_i[/mm],
>  
> also [mm]\Leftarrow[/mm] in (*).
>  
> Daher frage ich mich: An dieser Stelle braucht man doch die
> Kommutativität
>  gar nicht. Braucht man sie denn überhaupt? Und wenn ja:
> Wo geht sie im
>  Beweis ein?
>  
> Gruß,
>    Marcel


Hallo Marcel,

ich sehe das ganz genauso: für (*) benötigt man keine Kommutativität

Gruß FRED

Bezug
        
Bezug
Hamming-Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Do 08.01.2015
Autor: felixf

Moin Marcel

> der Hamming-Abstand zweier Vektoren [mm]u,v \in K^n[/mm] ("[mm]K\,[/mm]":
> Gruppe) werde definiert über
>  
> [mm]d(u,v):=|\{i \in \{1,...,n\}:\;\; u_i \not=v_i\}|[/mm]
>  
> Behauptung: Ist [mm](K,+)[/mm] eine abelsche Gruppe, so gilt
>  
> [mm]d(u,v)=d(u+w,v+w)[/mm]
>  
> für alle [mm]u,v,w \in K^n.[/mm]
>  
>
> Diesen Satz findet man in "Codierungstheorie und
> Kryptographie" vom
>  Birkhäuser Verlag, Mathematik kompakt.
>  
> Im Beweis wird dann verwendet, dass
>  
> (*) [mm]u_i+w_i \not=v_i+w_i[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]u_i \not=v_i[/mm] (jeweils
> [mm]i=1,...,n[/mm])
>  
> gilt, und das soll anscheinend begründen, warum man die
> Kommutativität
>  braucht.

Wird irgendwo explizit gesagt, dass der Satz nur funktioniert, wenn die Gruppe abelsch ist? Falls nicht, machst du hier eine Annahme, die (wie du weiter unten schreibst) nicht stimmt.

In dem Satz wird abelsch vermutlich nur vorausgesetzt, weil man den Satz eigentlich nur auf die additive Gruppe von (meist endlichen) Körpern, oder vielleicht auch noch auf die additive Gruppe von anderen Ringen anwendet -- und diese sind immer abelsch.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Hamming-Abstand: Satz: Zitat
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Do 08.01.2015
Autor: Marcel

Hallo Felix und Fred,

erstmal Danke für Eure Antworten!

> Moin Marcel
>  
> > der Hamming-Abstand zweier Vektoren [mm]u,v \in K^n[/mm] ("[mm]K\,[/mm]":
> > Gruppe) werde definiert über
>  >  
> > [mm]d(u,v):=|\{i \in \{1,...,n\}:\;\; u_i \not=v_i\}|[/mm]
>  >  
> > Behauptung: Ist [mm](K,+)[/mm] eine abelsche Gruppe, so gilt
>  >  
> > [mm]d(u,v)=d(u+w,v+w)[/mm]
>  >  
> > für alle [mm]u,v,w \in K^n.[/mm]
>  >  
> >
> > Diesen Satz findet man in "Codierungstheorie und
> > Kryptographie" vom
>  >  Birkhäuser Verlag, Mathematik kompakt.
>  >  
> > Im Beweis wird dann verwendet, dass
>  >  
> > (*) [mm]u_i+w_i \not=v_i+w_i[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]u_i \not=v_i[/mm] (jeweils
> > [mm]i=1,...,n[/mm])
>  >  
> > gilt, und das soll anscheinend begründen, warum man die
> > Kommutativität
>  >  braucht.
>  
> Wird irgendwo explizit gesagt, dass der Satz nur
> funktioniert, wenn die Gruppe abelsch ist? Falls nicht,
> machst du hier eine Annahme, die (wie du weiter unten
> schreibst) nicht stimmt.
>  
> In dem Satz wird abelsch vermutlich nur vorausgesetzt, weil
> man den Satz eigentlich nur auf die additive Gruppe von
> (meist endlichen) Körpern, oder vielleicht auch noch auf
> die additive Gruppe von anderen Ringen anwendet -- und
> diese sind immer abelsch.

naja, ich finde schon, dass die Formulierung des Satzes suggeriert, dass
man für diese Translationsinvarianz die Kommutativität benötigt.

--
Zitat:
Der Hamming-Abstand definiert auf [mm] $K^n$ [/mm] eine Metrik, d.h. es gilt für alle $u,v,w [mm] \in K^n$ [/mm]
.
.
.

(ich erspare mir hier, die üblichen Axiome einer Metrik nochmal aufzuzählen).

Ist [mm] $K\,$ [/mm] bzgl. + eine abelsche Gruppe, so ist die Hamming-Distanz translationsinvariant,
d.h. es gilt ferner

    [mm] $d(u+w,v+w)=d(u,v)\,.$
[/mm]
--

Siehst Du das anders? Aber ich sehe jetzt, wenn ich mir den Beweis angucke,
keinen Grund, warum man den Zusatz der Translationsinvarianz nur bei
abelschen Gruppen erwähnen sollte. Jedenfalls kann es dann nicht nur
an der erwähnten Gleichheit

    [mm] $u_i+w_i=v_i+w_i$ $\iff$ $u_i=v_i$ [/mm]

liegen, wie Fred ja auch bestätigt hat!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Hamming-Abstand: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Do 08.01.2015
Autor: felixf

Moin Marcel!

> naja, ich finde schon, dass die Formulierung des Satzes
> suggeriert, dass
>  man für diese Translationsinvarianz die Kommutativität
> benötigt.

Das tut sie. Gut formuliert ist das so nicht :)

> --
>  Zitat:
>  Der Hamming-Abstand definiert auf [mm]K^n[/mm] eine Metrik, d.h. es
> gilt für alle [mm]u,v,w \in K^n[/mm]
> .
> .
> .
>
>  (ich erspare mir hier, die üblichen Axiome einer Metrik
> nochmal aufzuzählen).
>  
> Ist [mm]K\,[/mm] bzgl. + eine abelsche Gruppe, so ist die
> Hamming-Distanz translationsinvariant,
> d.h. es gilt ferner
>
> [mm]d(u+w,v+w)=d(u,v)\,.[/mm]
>  --
>  
> Siehst Du das anders? Aber ich sehe jetzt, wenn ich mir den
> Beweis angucke,
>  keinen Grund, warum man den Zusatz der
> Translationsinvarianz nur bei
>  abelschen Gruppen erwähnen sollte. Jedenfalls kann es
> dann nicht nur
>  an der erwähnten Gleichheit
>  
> [mm]u_i+w_i=v_i+w_i[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]u_i=v_i[/mm]
>  
> liegen, wie Fred ja auch bestätigt hat!

Es ist der (finde ich) übliche Grund, warum solche falsch suggerierenden Dinge in der Mathematik häufiger auftauchen: weil man über eine gewisse Klasse von Objekten etwas aussagen will, aber nicht über die allgemeinere, grössere Menge, für die diese auch gilt. In manchen Fällen macht das auch durchaus Sinn (bei der Aussage könnte man sich auch auf Magmas beschränken, in denen aus $a + c = b + c$ folgt $a = b$), manchmal ist es aber auch eher verwirrend, wie hier.

Was mir allerdings gerade noch einfällt: normalerweise schreibt man $+$ nur bei kommutativen Operationen. Das ist hier ein guter Grund, $(K, +)$ als abelsche Gruppe vorauszusetzen, auch wenn es für nicht-abelsche Gruppen $(K, +)$ ebenso gilt.

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
Hamming-Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 Fr 09.01.2015
Autor: Marcel

Hi Felix,

> Moin Marcel!
>  
> > naja, ich finde schon, dass die Formulierung des Satzes
> > suggeriert, dass
>  >  man für diese Translationsinvarianz die
> Kommutativität
> > benötigt.
>  
> Das tut sie. Gut formuliert ist das so nicht :)
>  
> > --
>  >  Zitat:
>  >  Der Hamming-Abstand definiert auf [mm]K^n[/mm] eine Metrik, d.h.
> es
>  > gilt für alle [mm]u,v,w \in K^n[/mm]

>  > .

>  > .

>  > .

>  >
>  >  (ich erspare mir hier, die üblichen Axiome einer
> Metrik
> > nochmal aufzuzählen).
>  >  
> > Ist [mm]K\,[/mm] bzgl. + eine abelsche Gruppe, so ist die
>  > Hamming-Distanz translationsinvariant,

>  > d.h. es gilt ferner

>  >
>  > [mm]d(u+w,v+w)=d(u,v)\,.[/mm]

>  >  --
>  >  
> > Siehst Du das anders? Aber ich sehe jetzt, wenn ich mir den
> > Beweis angucke,
>  >  keinen Grund, warum man den Zusatz der
> > Translationsinvarianz nur bei
>  >  abelschen Gruppen erwähnen sollte. Jedenfalls kann es
> > dann nicht nur
>  >  an der erwähnten Gleichheit
>  >  
> > [mm]u_i+w_i=v_i+w_i[/mm] [mm]\iff[/mm] [mm]u_i=v_i[/mm]
>  >  
> > liegen, wie Fred ja auch bestätigt hat!
>  
> Es ist der (finde ich) übliche Grund, warum solche falsch
> suggerierenden Dinge in der Mathematik häufiger
> auftauchen: weil man über eine gewisse Klasse von Objekten
> etwas aussagen will, aber nicht über die allgemeinere,
> grössere Menge, für die diese auch gilt.

okay. Ich würde das dann aber sei formulieren:
"Sei [mm] $(K,+)\,$ [/mm] eine (nicht notwendig abelsche) Gruppe. Dann ist der Hamming-Abstand
translationsinvariant..."

> In manchen
> Fällen macht das auch durchaus Sinn (bei der Aussage
> könnte man sich auch auf Magmas beschränken, in denen aus
> [mm]a + c = b + c[/mm] folgt [mm]a = b[/mm]), manchmal ist es aber
> auch eher verwirrend, wie hier.

Ah, okay. Ich habe jetzt auch nochmal genau nachgeguckt: Vorher steht
dort ja tatsächlich nur, dass K eine endliche Menge sei!

> Was mir allerdings gerade noch einfällt: normalerweise
> schreibt man [mm]+[/mm] nur bei kommutativen Operationen. Das ist
> hier ein guter Grund, [mm](K, +)[/mm] als abelsche Gruppe
> vorauszusetzen, auch wenn es für nicht-abelsche Gruppen
> [mm](K, +)[/mm] ebenso gilt.

Ja. Ich denke, ich habe vielleicht etwas zu stark auf das Wort "abelsch" geachtet.
Der Autor sollte meiner Meinung nach aber dennoch den Satz (bzw. eigtl.
ist es nur ein Lemma) etwas anders zu formulieren, oder eine kleine Fußnote
zu ergänzen. Aber das ist jetzt vielleicht auch nur mein Geschmack, was
didaktische Aspekte betrifft.

Jedenfalls zeigt der Beweis zur Translationsinvarianz, dass man die
Kommutativität dort nicht braucht.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Hamming-Abstand: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:10 Sa 10.01.2015
Autor: felixf

Moin Marcel,

> > Es ist der (finde ich) übliche Grund, warum solche falsch
> > suggerierenden Dinge in der Mathematik häufiger
> > auftauchen: weil man über eine gewisse Klasse von Objekten
> > etwas aussagen will, aber nicht über die allgemeinere,
> > grössere Menge, für die diese auch gilt.
>
> okay. Ich würde das dann aber sei formulieren:
>  "Sei [mm](K,+)\,[/mm] eine (nicht notwendig abelsche) Gruppe. Dann
> ist der Hamming-Abstand
>  translationsinvariant..."

ja, so oder per Fussnote. Würde ich auch so machen. Und vielleicht fände der Autor das eigentlich auch besser, und die aktuelle Form ist ein Versehen gewesen :)

> > Was mir allerdings gerade noch einfällt: normalerweise
> > schreibt man [mm]+[/mm] nur bei kommutativen Operationen. Das ist
> > hier ein guter Grund, [mm](K, +)[/mm] als abelsche Gruppe
> > vorauszusetzen, auch wenn es für nicht-abelsche Gruppen
> > [mm](K, +)[/mm] ebenso gilt.
>  
> Ja. Ich denke, ich habe vielleicht etwas zu stark auf das
> Wort "abelsch" geachtet.

Und der Autor hat's vermutlich beim nochmal Lesen nicht beachtet, weil es für ihn klar war dass es ohne abelsch ebenfalls geht.

>  Der Autor sollte meiner Meinung nach aber dennoch den Satz
> (bzw. eigtl.
>  ist es nur ein Lemma) etwas anders zu formulieren, oder
> eine kleine Fußnote
>  zu ergänzen. Aber das ist jetzt vielleicht auch nur mein
> Geschmack, was
>  didaktische Aspekte betrifft.
>
> Jedenfalls zeigt der Beweis zur Translationsinvarianz, dass
> man die
> Kommutativität dort nicht braucht.

Genau :) Und man braucht nichtmals eine Gruppe, da man die (allgemeine) Assoziativität ebenfalls nicht braucht. Eigentlich braucht man nur, dass die Translationsabbildung injektiv sein muss, und nichts anderes. Man könnte die ganze Aussage so allgemein wie möglich also auch so formulieren:

Ist $f : K [mm] \to [/mm] K$ injektiv und sind $v, w [mm] \in K^n$, [/mm] so gilt $d(v, w) = d(f(v), f(w))$.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Hamming-Abstand: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Sa 10.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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