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Hammingcode: Hammingcode Mächtigkeit
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 20:14 Sa 06.12.2008
Autor: otto3333

Aufgabe
Es sei n [mm] \in N\setminus\{1\} [/mm] sowie m [mm] =2^n [/mm]  - 1 und H eine(n,m)-Matrix über [mm] \IZ_{2} [/mm]
, deren Spalten paarweise verschieden und ungleich der Nullspalte sind.Die Menge C ={ x [mm] \in \IZ_{2}^m| H.x^t= 0^t [/mm] }
      
    


heißt Hammingcode,ihre Elemente heißen Codewörter.





a) Berechenen Sie die Anzahl der Codewörter d.h. |C|





b) Zeigen Sie,dass sich zwei verschiedene Codewörter an mindestens 3 Stellen unterscheiden.


Vielen Dank schon mal für eure Hilfe.........

keine Ahnung wie ich das machen soll ??? bitte um hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 Sa 06.12.2008
Autor: otto3333

wie bearbeite ich hier nochmal meine Aufgabenstellung ????

Bezug
        
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:52 Sa 06.12.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

dies ist ein crossposting  ohne entsprechenden hinweis.

Gruß v. Angela


Bezug
                
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 Sa 06.12.2008
Autor: otto3333

okay alles klar aber wie kann ich meine aufgabenstellung nochmal neu bearbeiten ?????

Bezug
                        
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Sa 06.12.2008
Autor: angela.h.b.


> wie bearbeite ich hier nochmal meine Aufgabenstellung ????

Hallo,

Du kannst Deinen eigenen Artikel aufrufen , dann den Button "eigenen Artikel bearbeiten" (o. so ähnlich) klicken.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:41 Sa 06.12.2008
Autor: otto3333

okay habe ich jetzt hinbekommen danke nochmal vielleicht haste ja ne idee zu der aufgabe liebe angela ...

Bezug
        
Bezug
Hammingcode: Code für n=3
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:38 Sa 06.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Otto,

Lang ist's her, seit ich einmal eine Arbeit über Hamming-
Codes schrieb. Ich denke aber, dass ich trotzdem noch
ein wenig darüber weiss.

Einmal zu Teilaufgabe a) :

Machen wir ein Beispiel:  n=3 , dann ist [mm] m=2^3-1=7. [/mm]
Die Matrix H hat also 3 Zeilen und 7 Spalten. In der
Matrix stehen nur Nullen und Einsen. Die sieben
Spaltenvektoren müssen alle verschieden voneinander
und vom Nullvektor sein. Dann müssen dies alle
von [mm] \vec{0} [/mm] verschiedenen Dreiervektoren über [mm] \IZ_2^3 [/mm] sein,
denn der enthält ja inkl. Nullvektor nur gerade [mm] 2^3=8 [/mm]
Vektoren. H enthält also in irgend einer Permutation
alle Dreiervektoren [mm] \not=\vec{0} [/mm] . Ein mögliches Beispiel wäre:

       $\ [mm] H=\pmat{0&1&1&1&0&1&0\\0&1&0&1&1&0&1\\1&0&1&1&0&0&1}$ [/mm]

Codewörter sind Zeilenvektoren [mm] \pmat{x_1&x_2&x_3& ... & x_7} [/mm] der
Länge 7 ebenfalls aus lauter Nullen und Einsen. Sieben-
stellige Zeilenvektoren gibt es natürlich [mm] 2^7=128. [/mm] Damit
ein solcher Vektor aber wirklich ein Codewort darstellt,
muss er drei Gleichungen erfüllen, denn sein Skalarprodukt
mit jedem der 3 Zeilenvektoren von H soll ja Null ergeben.
Nun ist es so, dass jede der Gleichungen die Anzahl der
noch in Frage kommenden Vektoren genau halbiert.
[mm] 2^7=128 [/mm] dreimal fortgesetzt halbiert ergibt [mm] 2^4=16. [/mm]
So würde ich sagen, dass es in diesem Code genau 16
Codewörter gibt; also   [mm] |C|=2^4=16. [/mm]

Ich habe dies grad mal ausprobiert:

      1  ( 0 0 0 0 0 0 0)
      2  ( 0 0 0 1 0 1 1)
      3  ( 0 0 1 0 1 1 1)
      4  ( 0 0 1 1 1 0 0)
      5  ( 0 1 0 0 1 1 0)
      6  ( 0 1 0 1 1 0 1)
      7  ( 0 1 1 0 0 0 1)
      8  ( 0 1 1 1 0 1 0)
      9  ( 1 0 0 0 1 0 1)
     10  ( 1 0 0 1 1 1 0)
     11  ( 1 0 1 0 0 1 0)
     12  ( 1 0 1 1 0 0 1)
     13  ( 1 1 0 0 0 1 1)
     14  ( 1 1 0 1 0 0 0)
     15  ( 1 1 1 0 1 0 0)
     16  ( 1 1 1 1 1 1 1)


Ich denke, dies lässt sich ganz leicht auf den allge-
meinen Fall erweitern !

Jetzt käme noch die Aufgabe b), in der man zeigen soll,
dass die entstehenden Codewörter paarweise eine
"Hamming-Distanz" von mindestens 3 haben.  


Gruß  Al-Chwarizmi  

Bezug
                
Bezug
Hammingcode: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:32 So 07.12.2008
Autor: otto3333

vielen Dank für Deine Antwort.......hast Du auch eine Idee zu b ????



Bezug
                        
Bezug
Hammingcode: Hamming's Original-Paper
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 So 07.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Otto,

meinen damaligen Text habe ich nicht greifbar. Dafür
habe ich etwas viel besseres gefunden. Hier der Link
zum

       []Original-Paper von R.W.Hamming

aus dem Bell System Technical Journal vom April 1950,
wo genau das Beispiel mit n=3, m=7 mit 4 Daten- und
3 Kontrollbits und 16 Codewörtern auch besprochen wird.


Gruß   al-Chw.

Bezug
                                
Bezug
Hammingcode: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:26 So 07.12.2008
Autor: otto3333

ja alles klar für n = 3 aber wie zeige ich das allg. für n ????

Bezug
                                        
Bezug
Hammingcode: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Di 09.12.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
Hammingcode: Ansatz zu b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:33 So 07.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi

Aufgabe
Es sei $\ [mm] n\in \IN\setminus\{1\}$ [/mm] sowie $\ m [mm] =2^n [/mm] -1$ und $\ H$ eine $\ [mm] n\times{m}$ [/mm] - Matrix über [mm] \IZ_{2} [/mm] ,
deren Spalten paarweise verschieden und ungleich der Nullspalte sind.

Die Menge  $\ C [mm] =\{ x \in {\IZ_{2}}^m\ |\ H*x^T= 0^T \}$ [/mm]
      
heißt Hammingcode, ihre Elemente heißen Codewörter.

a) Berechnen Sie die Anzahl der Codewörter d.h. $\ |C|$

b) Zeigen Sie, dass sich zwei verschiedene Codewörter
   an mindestens 3 Stellen unterscheiden.  


Zu Aufgabe b):

x und y seien zwei verschiedene Codewörter,
also [mm] x\in{C} [/mm] und [mm] y\in{C} [/mm] und [mm] x\not=y, [/mm] d.h. [mm] x-y=z\not= [/mm] 0 .

Dann ist [mm] H*x^T=0^T [/mm] und [mm] H*y^T=0^T [/mm] und wegen der
Linearität von auch $\ [mm] H*(x-y)^T= H*x^T- H*y^T=0^T$. [/mm]
Der Differenzvektor $\ z=x-y$ ist also auch ein
Codewort, und zwar wegen [mm] x\not=y [/mm] nicht der Null-
vektor (der ebenfalls ein Codewort ist).

Die Anzahl der Stellen, an welchen sich x und y
unterscheiden, entspricht genau der Anzahl der
Einsen im Differenzvektor z. Zu zeigen bleibt also:

Jedes Codewort [mm] z\in [/mm] C mit [mm] z\not= [/mm] 0 enthält mindestens
drei Einsen. In meiner obigen Antwort kann man
dies im Beispiel mit n=3 aus der Liste der
16 Codewörter ablesen. Gefragt ist aber ein Beweis,
der auch für andere n gilt.


Gruß    Al-Chwarizmi


Bezug
                                
Bezug
Hammingcode: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 So 07.12.2008
Autor: otto3333

und wie zeige ich das z mindestens drei 1 hat ???

Bezug
                                        
Bezug
Hammingcode: Beweis durch Widerspruch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:30 So 07.12.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> und wie zeige ich das z mindestens drei 1 hat ???


Guten Abend Otto,

das kann mit einem Beweis durch Widerspruch gezeigt
werden. Nehmen wir also z.B. einmal an, ein Codewort
[mm] z\in\IC [/mm] hätte nur eine einzige 1, und zwar an der Stelle
[mm] i\in\{1,2,3, ..... ,2^n-1\} [/mm] und sonst lauter Nullen.
Weil [mm] z\in\IC [/mm] , müsste also gelten:

      [mm] H*z^T=0^T [/mm]

Notiert man sich dies ausführlich, erkennt man, dass
daraus folgen würde, dass H an der i-ten Stelle eine
Spalte aus lauter Nullen haben müsste. Da wir aber
wissen, dass H keine Nullspalte enthält, kann dies
nicht sein.

Wie wär's mit einem Codewort z mit genau zwei
Einsen etwa an den Stellen i und j ? Dann hätten wir:

     [mm] H*z^T=H_i+H_j =0^T [/mm]  

(Summe aus i-tem und j-tem Spaltenvektor von H)

Weil aber in [mm] \IZ_2 [/mm] und auch in [mm] {\IZ_2}^m [/mm] Addition und
Subtraktion dasselbe sind, würde folgen, dass

     [mm] H_i-H_j=0^T [/mm] oder [mm] H_i=H_j [/mm] .

Dies würde bedeuten, dass die Kontrollmatrix H
zwei identische Spalten haben müsste. Da wir aber
wissen, dass auch dies nicht der Fall ist, folgt mit
den obigen Überlegungen zusammen, dass jedes
Codewort [mm] z\in \IC [/mm] entweder gar keine oder aber
mindestens drei Einsen hat. Daraus ergibt sich nach
den schon vorher erläuterten Gründen, dass sich
zwei beliebige verschiedene Codewörter eines solchen
"perfekten" Hamming-Codes in mindestens drei Bits
unterscheiden müssen.

Übrigens kann man bei der praktischen Anwendung
dieser Hamming-Codes aus dem Ergebnis des Produktes
[mm] H*z^T [/mm] dann, wenn es nicht den Nullvektor ergibt,
leicht berechnen, an welcher Position der fehlerhaft
übertragenen Bitfolge der Fehler liegen muss (falls
es wirklich nur ein ein-Bit-Fehler war). Mit dieser
Information kann man also ein-Bit-Fehler nicht
nur erkennen, sondern auch korrigieren. Auf solchen
(und anderen) Codes beruhen deshalb sehr viele
Fehlerkorrekturalgorithmen in unseren heutigen
Kommunikationsgeräten vom Handy über CD-Player
über DAB-Radio bis zu Satellitenfernsehen und dem
Datenverkehr mit Vehikeln, die z.B. auf dem Mars
den Boden untersuchen.


Gruß    

al-Chwarizmi





Bezug
                                                
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:30 Mo 08.12.2008
Autor: otto3333

vielen dank für Deine ausführliche Antwort

Bezug
                
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:24 So 07.12.2008
Autor: felixf

Hallo zusammen


> [...] Damit
> ein solcher Vektor aber wirklich ein Codewort darstellt,
> muss er drei Gleichungen erfüllen, denn sein Skalarprodukt
> mit jedem der 3 Zeilenvektoren von H soll ja Null ergeben.
>  Nun ist es so, dass jede der Gleichungen die Anzahl der
>  noch in Frage kommenden Vektoren genau halbiert.
>  [mm]2^7=128[/mm] dreimal fortgesetzt halbiert ergibt [mm]2^4=16.[/mm]
>  So würde ich sagen, dass es in diesem Code genau 16
>  Codewörter gibt; also   [mm]|C|=2^4=16.[/mm]

Anders gesagt: die Matrix hat Rang 3, womit der Rechtskern (welcher der Code ist) nach der Dimensionsformel die Dimension $m - 3$ hat, also [mm] $2^{m - 3}$ [/mm] Elemente hat.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Hammingcode: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:32 Mo 08.12.2008
Autor: otto3333

danke felix

Bezug
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