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| Aufgabe | Sei [mm] D\subset\IC [/mm] ein Elementargebiet und [mm] u:D\to\IR [/mm] eine harmonische Funktion. Zeige, dass dann eine holomorphe Funktion [mm] f:D\to\IC [/mm] mit Re(f) = u existiert.
(Hinweis: Falls es ein f gibt, kann man f' durch Re(f) = u ausdrücken. Definiere also eine Funktion [mm] g:D\to\IC [/mm] und wählen Sie f als eine passende Stammfunktion von f). |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht weiter.
Ich habe mal angenommen, f wäre holomorph und hätte Re(f) = u. Dann hätte ich:
$f'(z) = [mm] \frac{\partial u}{\partial z} [/mm] + [mm] i*\frac{\partial Im(f)}{\partial z}$
[/mm]
$ = [mm] \frac{1}{2}*\left(\frac{\partial u}{\partial x}-i*\frac{\partial u}{\partial y}\right) [/mm] + [mm] i*\frac{1}{2}*\left(\frac{\partial Im(f)}{\partial x} - i*\frac{\partial Im(f)}{\partial y}\right)$.
[/mm]
f holomorph, also Cauchy-Riemannsche DGL erfüllt:
$= [mm] \frac{\partial u}{\partial x} [/mm] - [mm] i*\frac{\partial u}{\partial y}$.
[/mm]
Nun würde ich also, wenn ich den Beweis beginne, [mm] g:D\to\IC [/mm] als
$g(z) = g(x+i*y) = [mm] \frac{\partial u}{\partial x} [/mm] - [mm] i*\frac{\partial u}{\partial y}$
[/mm]
definieren. g ist holomorph, weil der Realteil und der Imaginärteil total differenzierbar ist (u als harmonische Funktion zweimal stetig differenzierbar), und die Cauchy-Riemannschen DGL gelten (u harmonisch: [mm] $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} [/mm] = [mm] \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}$ [/mm] ).
Da D Elementargebiet, existiert eine Stammfunktion G von g auf D.
Nun weiß ich aber nicht, wie ich Re(G) = u zeigen kann, was ich ja noch tun muss?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Aufgabe | | Sei [mm] D\subset\IC [/mm] eine Elementargebiet und [mm] u:D\to\IR [/mm] eine harmonische Funktion. Folgere mit dem Satz der Gebietstreue, dass u konstant ist, wenn es ein lokales Extremum hat. |
Hallo!
Irgendwie finde ich die Aussage ja absurd - eine konstante Funktion kann doch gar kein lokales Extremum haben?
Ich bin mir ein bisschen unsicher, wie ich die Voraussetzung, dass u ein Extremum hat, überhaupt verarbeiten kann / darf.
Ich hätte gesagt: u hat lokales Extremum in [mm] z_{0} \Rightarrow $\frac{\partial u}{\partial x}(z_{0}) [/mm] = 0 = [mm] \frac{\partial u}{\partial y}(z_{0})$.
[/mm]
Aus Teil a) (erste Frage in diesem Post) folgt zunächst, dass es eine holomorphe Funktion f gibt, die u als Realteil hat, und für die $f' = [mm] \frac{\partial u}{\partial x}-i*\frac{\partial u}{\partial y}$ [/mm] ist.
Hier wäre also: [mm] $f'(z_{0}) [/mm] = [mm] \frac{\partial u}{\partial x}(z_{0})-i*\frac{\partial u}{\partial y}(z_{0}) [/mm] = 0$.
Kann ich daraus jetzt folgern, dass f konstant ist (zusammen damit, dass [mm] z_{0} [/mm] ja im Elementargebiet D liegt?)
Dann müsste folgen, dass auch u = Re(f) konstant ist.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:52 Do 17.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan!
> Sei [mm]D\subset\IC[/mm] eine Elementargebiet und [mm]u:D\to\IR[/mm] eine
> harmonische Funktion. Folgere mit dem Satz der
> Gebietstreue, dass u konstant ist, wenn es ein lokales
> Extremum hat.
>
> Irgendwie finde ich die Aussage ja absurd - eine konstante
> Funktion kann doch gar kein lokales Extremum haben?
> Ich bin mir ein bisschen unsicher, wie ich die
> Voraussetzung, dass u ein Extremum hat, überhaupt
> verarbeiten kann / darf.
Nun, bei einer konstanten Funktion ist jedes Element $x [mm] \in [/mm] D$ ein lokales Maximum: fuer alle $y$ in einer (hier sogar jeder!) Umgebung von $x$ gilt $f(x) [mm] \ge [/mm] f(y)$.
> Ich hätte gesagt: u hat lokales Extremum in [mm]z_{0} \Rightarrow[/mm]
> [mm]\frac{\partial u}{\partial x}(z_{0}) = 0 = \frac{\partial u}{\partial y}(z_{0})[/mm].
>
> Aus Teil a) (erste Frage in diesem Post) folgt zunächst,
> dass es eine holomorphe Funktion f gibt, die u als Realteil
> hat, und für die [mm]f' = \frac{\partial u}{\partial x}-i*\frac{\partial u}{\partial y}[/mm]
> ist.
>
> Hier wäre also: [mm]f'(z_{0}) = \frac{\partial u}{\partial x}(z_{0})-i*\frac{\partial u}{\partial y}(z_{0}) = 0[/mm].
>
> Kann ich daraus jetzt folgern, dass f konstant ist
> (zusammen damit, dass [mm]z_{0}[/mm] ja im Elementargebiet D
> liegt?)
Ich glaube, so direkt geht das nicht.
Nimm dir doch mal $f$ und schau dir die Cauchysche Integralformel fuer [mm] $f(z_0)$ [/mm] an, mit einer "ganz einfachen" geschlossenen Kurve um [mm] $z_0$, [/mm] und nimm den Realteil von dem ganzen. Kannst du damit etwas machen?
LG Felix
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Hallo,
Idee: $G$ lässt sich schreiben als $a+i*b$, mit $a,b$ reellwertige Funktionen. Also hat man:
$G'(x +i* y) = [mm] \bruch{\partial a}{\partial x }(x+i*y)+i*\bruch{\partial b}{\partial x}(x+i*y)$
[/mm]
dann muss doch $a$ notwendig $u+c$ sein [mm] ($c\in\IC$ [/mm] konstant), eine Konstante ändert nichts an der Holomorphie einer Funktion, also kann man auch $a = u$ wählen und bekommt eine Stammfunktion mit den geforderten Eigenschaften.
Gruß Kevin
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Hallo Kevin,
danke für deine Antwort!
> Hallo,
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> Idee: [mm]G[/mm] lässt sich schreiben als [mm]a+i*b[/mm], mit [mm]a,b[/mm]
> reellwertige Funktionen. Also hat man:
>
> [mm]G'(x +i* y) = \bruch{\partial a}{\partial x }(x+i*y)+i*\bruch{\partial b}{\partial x}(x+i*y)[/mm]
Verstehe ich das richtig, dass du hier bereits ausgenutzt hat, dass G als Stammfunktion einer holomorphen Funktion holomorph ist?
Ich komme aber auf
$G'(x +i* y) = [mm] \bruch{\partial a}{\partial x }(x+i*y)-i*\bruch{\partial b}{\partial x}(x+i*y)$
[/mm]
ein Minus zwischen dem Real- und Imaginärteil (siehe auch erster Post, wo ich f ausführlich abgeleitet habe). Ist das ein Fehler?
Danke!
Grüße,
Stefan
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Hey,
ich glaube, dass stimmt schon alles, wir haben jetzt nur einige Bezeichnungen durcheinander.
$G$ ist die Stammfunktion von $g$ und somit holomorph, für jede holomorphe Funktion der Form $G = a+ib$ gilt aber doch
$ G'(x [mm] +i\cdot{} [/mm] y) = [mm] \bruch{\partial a}{\partial x }(x+i\cdot{}y)+i\cdot{}\bruch{\partial b}{\partial x}(x+i\cdot{}y) [/mm] $
das ist schon ein Unterschied zu $f',u,v$. Bei mir sind $a,b$ die (nicht näher bekannten) Real und Imaginärteile von $G$. Der Rest ist dann eine Art Koeffizientenvergleich...
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Ok,
ich schau nochmal. Dankeschön!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:19 Do 17.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D\subset\IC[/mm] ein Elementargebiet und [mm]u:D\to\IR[/mm] eine
> harmonische Funktion. Zeige, dass dann eine holomorphe
> Funktion [mm]f:D\to\IC[/mm] mit Re(f) = u existiert.
> (Hinweis: Falls es ein f gibt, kann man f' durch Re(f) = u
> ausdrücken. Definiere also eine Funktion [mm]g:D\to\IC[/mm] und
> wählen Sie f als eine passende Stammfunktion von f).
> Hallo!
>
> Bei der obigen Aufgabe komme ich nicht weiter.
> Ich habe mal angenommen, f wäre holomorph und hätte
> Re(f) = u. Dann hätte ich:
>
> [mm]f'(z) = \frac{\partial u}{\partial z} + i*\frac{\partial Im(f)}{\partial z}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}*\left(\frac{\partial u}{\partial x}-i*\frac{\partial u}{\partial y}\right) + i*\frac{1}{2}*\left(\frac{\partial Im(f)}{\partial x} - i*\frac{\partial Im(f)}{\partial y}\right)[/mm].
>
> f holomorph, also Cauchy-Riemannsche DGL erfüllt:
>
> [mm]= \frac{\partial u}{\partial x} - i*\frac{\partial u}{\partial y}[/mm].
>
> Nun würde ich also, wenn ich den Beweis beginne, [mm]g:D\to\IC[/mm]
> als
>
> [mm]g(z) = g(x+i*y) = \frac{\partial u}{\partial x} - i*\frac{\partial u}{\partial y}[/mm]
>
> definieren. g ist holomorph, weil der Realteil und der
> Imaginärteil total differenzierbar ist (u als harmonische
> Funktion zweimal stetig differenzierbar), und die
> Cauchy-Riemannschen DGL gelten (u harmonisch:
> [mm]\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}[/mm]
> ).
>
> Da D Elementargebiet, existiert eine Stammfunktion G von g
> auf D.
>
> Nun weiß ich aber nicht, wie ich Re(G) = u zeigen kann
Das wird Dir auch nicht gelingen !
Setze $w:= Re(G)$.
Dann ist [mm] $w_x-iw_y=g=u_x-iu_y$ [/mm] auf D
Also
[mm] $u_x=w_x$ [/mm] und [mm] $u_y=w_y$ [/mm] auf D
Da D ein Gebiet ist, besagt ein Satz aus der reellen Analysis: es ex. ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
$u=w+c$ auf D
Somit ist $u= Re(G+c)$ auf D. Die holomorphe Funktion G+c leistet also das Gewünschte
FRED
>
> was ich ja noch tun muss?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
vielen Dank für deine Hilfe!
Grüße,
Stefan
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