Harmonische Reihe Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Di 21.09.2010 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
ich verstehe einen Schritt für den Beweis der Divergenz der harmonischen Reihe nicht.
Um das alles nicht abzutippen, hier die Seite, mit der ich arbeite:
http://books.google.de/books?id=ZPNKHXi9uqYC&pg=PA123&dq=beweis+divergenz+harmonische+reihe#v=onepage&q=beweis%20divergenz%20harmonische%20reihe&f=false
Bei dem Beispiel [mm] s_{2n} [/mm] - [mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k} \ge \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{2n} [/mm] = n [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
Woher kommt das [mm] \ge \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{2n} [/mm] ??
Ich vermute, dass das [mm] \ge \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{2n} [/mm] das [mm] \varepsilon [/mm] ist, aber ich verstehe nicht, warum es [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{2n} [/mm] ist. :(
Und wie kommt man auf n [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] ??
Vielen Dank im Voraus
LG
sardelka
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Hallo sardelka!
> Bei dem Beispiel [mm]s_{2n}[/mm] - [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{k} \ge \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{2n}[/mm] = n [mm]\bruch{1}{2n}[/mm]
>
> Woher kommt das [mm]\ge \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{2n}[/mm] ??
Es wurde hier mit dem kleinsten aller Summanden abgeschätzt, indem man den größten Term in den Nenner einsetzt.
> Und wie kommt man auf n [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] ??
Von [mm]k \ = \ n+1[/mm] bis [mm]k \ = \ 2*n[/mm] sind es exakt [mm]n_[/mm] Summanden in der betrachteten Summe. Und durch die vorherige Abschätzung ist jeder Summand auch unabhängig von der Zählervariable [mm]k_[/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Di 21.09.2010 | | Autor: | sardelka |
Vielen Dank!
Habe ich es dann richtig verstanden, dass man für die Summe das [mm] \varepsilon [/mm] den aller kleinesten Summanden nimmt und dann die Summe der Reihe bildet, damit man das [mm] \varepsilon [/mm] so groß wie möglich bekommt?
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Hallo,
> Vielen Dank!
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> Habe ich es dann richtig verstanden, dass man für die
> Summe das [mm]\varepsilon[/mm] den aller kleinesten Summanden nimmt
> und dann die Summe der Reihe bildet, damit man das
> [mm]\varepsilon[/mm] so groß wie möglich bekommt?
Ich verstehe diese Frage nicht!?
Bzw. kann grammatikalisch und inhaltlich nicht folgen ...
Was ist zB. "die Summe der Reihe" ??
Was bedeutet der Teil nach dem ersten Komma ??
Formuliere das mal auf deutsch.
Das [mm]\varepsilon[/mm] muss eine feste positive reelle Zahl sein, die hier als [mm]\frac{1}{2}[/mm] gewählt wird.
Und wie die Abschätzung nach unten, also das Verkleinern der Reihe durch Ersetzen eines jeden Summanden durch den kleinsten auftretenden Summanden geht, steht in der anderen Antwort.
Wenn du in einem (positiven) Bruch den Nenner vergrößerst, verkleinerst du den Bruch.
Dies wird mit jedem einzelnen Summanden (Bruch) getan, indem der jeweilige Nenner durch den größten (2n) ersetzt wird ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Di 21.09.2010 | | Autor: | sardelka |
Hallo,
ich dachte [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kommt von der Summe [mm] \summe_{k=n+1}^{2n} \bruch{1}{2n} [/mm] , die man vereinfacht hat???
Demnach wurde das [mm] \varepsilon [/mm] nicht als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] gewählt.
LG
sardelka
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Hiho,
ich glaube du hast die Idee hinter dem Beweis nicht wirklich verstanden.
Folgendes steckt dahinter:
Wäre [mm] s_n [/mm] konvergent, wäre [mm] s_n [/mm] auch eine Cauchy-Folge und es müsste zwingend gelten, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] existiert, so dass für alle $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $|s_{2n} [/mm] - [mm] s_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gelten würde.
(Cauchy-Kriterum mit m=2n)
Bei deinem obigen Beweis zeigt man nun erstmal, dass
[mm] $|s_{2n} [/mm] - [mm] s_n| \ge \bruch{1}{2}$ [/mm] ist, d.h. [mm] s_n [/mm] kann im direkten Umkehrschluss keine Cauchy-Folge mehr sein (wähle irgendein [mm] $\varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}$, [/mm] dann gehts kaputt).
Und da es keine Cauchy-Folge mehr sein kann, kann die Reihe auch nicht mehr konvergent sein!
D.h. letztlich hat die Ungleichung [mm] $|s_{2n} [/mm] - [mm] s_n| \ge \bruch{1}{2}$ [/mm] erstmal NIX mit irgendeinem [mm] \varepsilon [/mm] zu tun und ist davon unabhängig. Aber diese Ungleichung kannt du verwenden, dass ein [mm] \varepsilon [/mm] existiert (alle kleiner [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ), so dass
[mm] $|s_{2n} [/mm] - [mm] s_n| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] NIE gilt.
Damit ist das Cauchy-Kriterium für konvergente Folgen (bzw. Reihen) verletzt.
Und eine Bitte an dich: Du solltest nochmal die wichtigen Sätze für Folgen & Reihen sowie Konvergenzkriterium dafür durcharbeiten. Und beachte, eine Partialsummenfolge ist letztlich auch nur eine FOLGE und man kann alle Kriterien, die du für Folgen kanntest, darauf ebenfalls anwenden.
MFG;
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Di 21.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu den Vorrednern:
ich habe den Eindruck, Du hast nicht verstanden worum es geht.
Es war [mm] $s_n= [/mm] 1+ [mm] \bruch{1}{2}+ ...+\bruch{1}{n}$.
[/mm]
Ich denke , dass Dir mittlerweile klar ist, dass
(*) [mm] $s_{2n}-s_n \ge [/mm] 1/2$
ist. Wäre nun die harmonische Reihe konvergent, so wäre [mm] (s_n) [/mm] konvergent, sagen wir zum Grenzwert s. Dann konv. aber auch die Folge [mm] (s_{2n}) [/mm] gegen s.
Aus (*) folgt dann der Unfug 0 [mm] \ge [/mm] 1/2.
Also div. die harmonische Reihe.
FRED
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