Harmonische Reihe, abschätzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | j [mm] \in \IN, [/mm]
t(j)..Anzahl der Teiler von j,
t'(j).. durchschnittliche Anzahl der Teiler der Zahlen von 1 bis n, also
t' (n) := 1/n [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] t(i)
In der Vorlesung gezeigt t' (n) = 1/n [mm] \sum_{i=1}^n [\frac{n}{i}]
[/mm]
Folgerne [mm] H_n [/mm] -1 < = t'(n) <= [mm] H_n
[/mm]
wobei [mm] H_n [/mm] die harmonische Zahl bezeichnet.
[].. Gaußklammer |
Hallo
Da [mm] H_n [/mm] - t'(n) >=0 ist mit geeigneter Abschätzung von t'(n)
ist die Abschätzung: t'(n) < = [mm] H_n [/mm] klar.
Wie kommt man aber nun auf die Abschätzung [mm] H_n [/mm] -1 < = t'(n) ?
Hier wird die harmonische Reihe um das erste Glied verkürzt :
[mm] H_n [/mm] -1 = [mm] \sum_{i=2}^n [/mm] 1/i
Mfg,
LU
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu,
> Wie kommt man aber nun auf die Abschätzung [mm]H_n[/mm] -1 < =
> t'(n) ?
> Hier wird die harmonische Reihe um das erste Glied
> verkürzt :
> [mm]H_n[/mm] -1 = [mm]\sum_{i=2}^n[/mm] 1/i
Die Gaussklammer [mm] $[\alpha]$ [/mm] genügt den beiden Ungleichungen:
[mm] $\alpha [/mm] -1 < [mm] [\alpha] \le \alpha\;.$
[/mm]
Die zweite hast Du schon für die Abschätzung nach oben, ich meine [mm] $t'(n)\le H_n$, [/mm] verwendet. Daher liegt es nahe, die andere für die Abschätzung nach unten zu nutzen. Mach das.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Hallo,
Danke für den Hinweis
[mm] H_n [/mm] - t' (n) = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] 1/i- 1/n [mm] \sum_{i=1}^n [\frac{n}{i}] [/mm] < [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] 1/i - 1/n [mm] \sum_{i=1}^n (\frac{n}{i}-1)
[/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] 1/i - [mm] \sum_{i=1}^n (\frac{1}{i}-1)=\sum_{i=1}^n [/mm] 1 = n
Ist das richtig so?
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Lu- |
Den blöden Fehler hab ich längst bemerkt, hab es unüberlegt abgesendet ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lu-
> [mm]H_n[/mm] - t' (n) = [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] 1/i- 1/n [mm]\sum_{i=1}^n [\frac{n}{i}][/mm]
> < [mm]\sum_{i=1}^n[/mm] 1/i - 1/n [mm]\sum_{i=1}^n (\frac{n}{i}-1)[/mm]
> [mm]=\sum_{i=1}^n[/mm] 1/i - [mm]\sum_{i=1}^n (\frac{1}{i}-1)=\sum_{i=1}^n1 = n[/mm]
> Ist das richtig so?
Fast. Bis zum vorletzten Gleichheitszeichen. Und Du willst als Ergebnis ja $1$ haben und nicht $n$. Das bekommst Du so:
[mm] $\frac [/mm] 1 n [mm] \sum_{i=1}^n \left(\frac n i - 1\right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n\left(\frac 1 i - \frac 1 n \right) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n\frac [/mm] 1 i - [mm] 1\;.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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