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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Di 30.12.2008 | | Autor: | Foster |
| Aufgabe | a) Berechnen Sie die Hauptachsen und die Eigenwerte für
A:= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Berechnen sie dann die Hauptachsentransformation [mm] Q^{T} [/mm] BQ
b) Wie kann für reelle Konstanten [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm]
A:= [mm] \pmat{ cos \alpha & - sin \alpha \\ sin \alpha & cos \alpha }
[/mm]
B:= [mm] \pmat{ cos \beta & - sin \beta \\ sin \beta & cos \beta }
[/mm]
1) anschaulich-geometrisch
2) rechnerisch
begründet werden, dass A und B kommutieren, d.h. A*B = B*A ? |
Ich habe bei a) heraus das die Eigenwerte 0/0/0 sind. Ist das richtig?
Wie gehe ich nun weiter vor?
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> a) Berechnen Sie die Hauptachsen und die Eigenwerte für
>
> A:= [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Berechnen sie dann die Hauptachsentransformation [mm]Q^{T}[/mm] BQ
> Ich habe bei a) heraus das die Eigenwerte 0/0/0 sind. Ist
> das richtig?
Hallo,
nein, das ist nicht richtig.
Schade, daß Du nicht vormachst, was Du getan hast, sonst hätte man Dir gleich sagen können, wo der Fehler liegt.
Dir ist klar, daß Du die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen mußt?
> Wie gehe ich nun weiter vor?
Danach sind dann die zu den Eigenwerten [mm] \lambda_i [/mm] zugehörigen Eigenvektoren zu berechnen (bzw. eine Basis des jeweiligen Eigenraumes [mm] Eig_{\lambda_i}) [/mm] durch Bestimmung von [mm] Kern(A-\lambda_iE).
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 Di 30.12.2008 | | Autor: | Foster |
Ja, mir ist klar, das ich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen muß. Habe ich auch gemacht, mich nur verrechnet.
Ich bekomme nun folgende Gleichung heraus.
- [mm] \lambda [/mm] ^{3} + [mm] \lambda [/mm] ^{2} + [mm] \lambda [/mm] -1
daraus folgt [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1 , [mm] \lambda_{2} [/mm] = 1 , [mm] \lambda_{3} [/mm] = -1
wenn ich nun den Eigenvektor für [mm] \lambda [/mm] = 1 einsetze bekomme ich folgendes
0-1 0 1 | 0
0 1-1 0 | 0
1 0 0-1 | 0 X1 = X3 , X3 = X1 ; X2 = 0
bei [mm] \lambda [/mm] = -1 kommt folgendes heraus
1 0 1 | 0
0 2 0 | 0
1 0 1 | 0
Bei beiden Eigenvektoren komme ich nicht auf die x1,x2,x3 Werte, da sie sich immer weg kürzen.
Habe ich wieder einen Fehler gemacht ?
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Hallo Foster,
> Ja, mir ist klar, das ich die Nullstellen des
> charakteristischen Polynoms bestimmen muß. Habe ich auch
> gemacht, mich nur verrechnet.
>
> Ich bekomme nun folgende Gleichung heraus.
> - [mm]\lambda[/mm] ^{3} + [mm]\lambda[/mm] ^{2} + [mm]\lambda[/mm] -1
>
> daraus folgt [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1 , [mm]\lambda_{2}[/mm] = 1 ,
> [mm]\lambda_{3}[/mm] = -1
>
> wenn ich nun den Eigenvektor für [mm]\lambda[/mm] = 1 einsetze
> bekomme ich folgendes
>
> 0-1 0 1 | 0
> 0 1-1 0 | 0
> 1 0 0-1 | 0 X1 = X3 , X3 = X1 ; X2 = 0
In der zweiten Zeile steht:
[mm]0*X1+0*X2+0*X3=0[/mm]
Das heißt X1,X2,X3 sind beliebig zu wählen.
[mm]X1=s, \ X2=t ,\ X3=s[/mm]
Anders geschrieben:
[mm]s*\pmat{1 \\ 0 \\ 1}+t*\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Somit sind
[mm]\pmat{1 \\ 0 \\ 1}, \ \pmat {0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Eigenvektoren zum Eigenwert 1.
>
> bei [mm]\lambda[/mm] = -1 kommt folgendes heraus
>
> 1 0 1 | 0
> 0 2 0 | 0
> 1 0 1 | 0
Das Gleichungsystem
[mm]1*X1+0*X2+1*X3=0[/mm]
[mm]0*X1+2*X2+0*X3=0[/mm]
hat die Lösung
[mm]X1=-X3, X2=0[/mm]
Daher lautet der Eigenvektor zum Eigenwert -1:
[mm]\pmat{-1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> Bei beiden Eigenvektoren komme ich nicht auf die x1,x2,x3
> Werte, da sie sich immer weg kürzen.
>
> Habe ich wieder einen Fehler gemacht ?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Do 01.01.2009 | | Autor: | Foster |
*Frohes neues Jahr*
Wie berechne ich die Hauptachsentransformation und wie fange ich bei Aufgabe b an?
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> *Frohes neues Jahr*
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> Wie berechne ich die Hauptachsentransformation und wie
> fange ich bei Aufgabe b an?
Hallo,
wenn Du die Eigenvektoren hast, stellst Du Deine Transformationsmatrizen auf und multiplizierst.
bei Aufgabe b) kannst Du Dir veranschaulichen, was gemacht wird, wenn Du Dir überlegst, daß in den Spalten die Bilder der Basisvektoren stehen.
Gruß v. Angela
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