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| Aufgabe | Stellen Sie die quadratische Form in dem Haupachsensystem dar. Geben Sie die neue Orthonormalbasis und die Transformationsmatrix an.
[mm] q(x)=27x_{1}² [/mm] - [mm] 10x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{2}² [/mm] |
Hi,
zunächst habe ich die Matrix aufgestellt.
A= [mm] \pmat{ 27 & -5 \\ -5 & 3 }
[/mm]
Anschließend habe ich die EW berechnet. Ich habe [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=28
[/mm]
Die EV dazu sind u= [mm] \vektor{-5 \\ 1} [/mm] und [mm] v=\vektor{1 \\ -5}
[/mm]
Wenn ich die EV normiere, habe ich: u= [mm] \bruch{1}{\wurzel{26}}\vektor{-5 \\ 1} [/mm] und v= [mm] \bruch{1}{\wurzel{26}}\vektor{1 \\ -5}
[/mm]
Mit den normierten EV habe ich die Matrix doch in einem Hauptachsensystem bzgl. der natürlichen Basis dargestellt, oder?
Ich weiß nicht was ich jetzt noch machen muss. In der Vorlesung hatte wir noch x=By substituiert, aber ich kann damit nichts anfangen. Wäre echt super, wenn mir jemand erklären könnte, was genau das Hauptachsensystem ist und die Transformationsmatrix.
Schon mal Danke :)
Gruß
Meli
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Hallo meli_bremen,
> Stellen Sie die quadratische Form in dem Haupachsensystem
> dar. Geben Sie die neue Orthonormalbasis und die
> Transformationsmatrix an.
> [mm]q(x)=27x_{1}²[/mm] - [mm]10x_{1}x_{2}[/mm] + [mm]3x_{2}²[/mm]
> Hi,
>
> zunächst habe ich die Matrix aufgestellt.
> A= [mm]\pmat{ 27 & -5 \\ -5 & 3 }[/mm]
> Anschließend habe ich die
> EW berechnet. Ich habe [mm]\lambda_{1}=2[/mm] und [mm]\lambda_{2}=28[/mm]
> Die EV dazu sind u= [mm]\vektor{-5 \\ 1}[/mm] und [mm]v=\vektor{1 \\ -5}[/mm]
Hier muß v doch so lauten:
[mm]v=\bruch{1}{\wurzel{26}}\vektor{1 \\ \red{+}5}[/mm]
>
> Wenn ich die EV normiere, habe ich: u=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{26}}\vektor{-5 \\ 1}[/mm] und v=
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{26}}\vektor{1 \\ -5}[/mm]
>
> Mit den normierten EV habe ich die Matrix doch in einem
> Hauptachsensystem bzgl. der natürlichen Basis dargestellt,
> oder?
>
> Ich weiß nicht was ich jetzt noch machen muss. In der
> Vorlesung hatte wir noch x=By substituiert, aber ich kann
> damit nichts anfangen. Wäre echt super, wenn mir jemand
> erklären könnte, was genau das Hauptachsensystem ist und
> die Transformationsmatrix.
Nun, die quadratische Form läßt sich so schreiben:
[mm]q\left(x\right)=x^{T}*A*x=\pmat{x_{1} & x_{2}}*A*\pmat{x_{1} \\ x_{2}][/mm]
Ziel ist die gemischtquadratischen Glieder (das ist hier das Glied mit [mm]x_{1}x_ {2}[/mm]) zu elimieren.
Dies wird durch eine geeigenete Transformation
[mm]x=B*y[/mm]
erreicht.
Dann lautet nachher die quadratische Form
[mm]q\left(y\right)=a*y_{1}^{2}+b*y_{2}^{2}[/mm]
Nun ist B diejenige Matrix, die aus den Eigenvektoren u und v besteht:
[mm]B:=\pmat{ u & v}[/mm]
Mit dieser erreichst Du das geforderte.
> Schon mal Danke :)
>
> Gruß
> Meli
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 So 17.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Was bekomme ich dann als Faktor vor der Matrix B ? behalte ich da [mm] \bruch{1}{\wurzel{26}}
[/mm]
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Hallo Wichi20,
> Was bekomme ich dann als Faktor vor der Matrix B ? behalte
> ich da [mm]\bruch{1}{\wurzel{26}}[/mm]
Ja, den kannst Du auch in die Matrix B hereinziehen.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 So 17.05.2009 | | Autor: | Wichi20 |
Und wenn ich unterschiedliche Werte vor den Vektoren hätte? dann verrechne ich es gleich ? Und wie läuft das mit der Substitution, wenn ich 2x den gleichen Eigenwert bekomme hab ich dann [mm] \lambda_{1}y_{1}² [/mm] + [mm] \lambda_{2}y_{2}²+\lambda_{3}y_{3}² [/mm] oder [mm] \lambda_{1}y_{1}² [/mm] + [mm] \lambda_{2}y_{2}²
[/mm]
wenn [mm] \lambda_{3}= \lambda_{2}
[/mm]
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Hallo Wichi20,
> Und wenn ich unterschiedliche Werte vor den Vektoren hätte?
Dann musst Du die Matrix so belassen.
[mm]B=\pmat{\ \bruch{1}{ \ \vmat{ \overrightarrow{v_{1}} } \ } *\overrightarrow{v_{1}} & \bruch{1}{ \ \vmat{ \overrightarrow{v_{2}} } \ } *\overrightarrow{v_{2}}\ }[/mm]
,wobei [mm]\overrightarrow{v_{1}}, \ \overrightarrow{v_{2}}[/mm]
die jeweiligen Eigenvektoren sind.
Gruß
MathePower
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