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| Aufgabe | a) Führen Sie eine Hauptachsentransformation durch, um zu bestimmen, was für eine Kurve im [mm] R^2 [/mm] durch die Gleichung
[mm] 6x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2=28
[/mm]
beschrieben wird. Geben Sie die Transformationsmatrix S, die transformierte Gleichung und die Art der Kurve explizit an.
b) Welche Punkte x [mm] \in R^2 [/mm] auf der Kurve haben minimalen Abstand zum Ursprung? Wie groß/klein ist dieser? |
Bitte alle nachfolgenden Fragen beantworten
a) [mm] 6x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2=28
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 6 & -2 \\ -2 & 3 }
[/mm]
[mm] det(\lambda*E-A)=0=\lambda^2-9\lambda+14
[/mm]
[mm] \lambda_1=7
[/mm]
[mm] \lambda_2=2
[/mm]
[mm] (\lambda_1*E-A)*V_1=0=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }*\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x_1+2x_2=0
[/mm]
[mm] x_1=\alpha
[/mm]
erster Eigenvektor [mm] V_1=\alpha\vektor{1 \\ -\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] (\lambda_2*E-A)*V_2=0=\pmat{ -4 & 2 \\ 2 & -1 }*\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] 0=-4x_1+2x_2
[/mm]
[mm] x_1=\beta
[/mm]
[mm] \Rightarrow V_2=\beta\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
hier kommt meine erste Frage: muss ich [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] so wählen, dass [mm] V_1 [/mm] und [mm] V_2 [/mm] orthogonal zu einander sind? das wäre in diesem fall bei [mm] \alpha=2 [/mm] und [mm] \beta=1. [/mm] oder spielt das keine rolle, da ich die Eigenvektoren normieren muss?
für [mm] \alpha=2 [/mm] und [mm] \beta=1 [/mm] folgt:
[mm] V_1=\vektor{2 \\ -1}
[/mm]
[mm] V_2=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Drehmatrix S:
[mm] S=\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 2 }
[/mm]
transformierte Gleichung:
[mm] y^T*\pmat{ 7 & 0 \\ 0 & 2 }*y=7y_1^2+2y_2^2=28
[/mm]
[mm] 1=\bruch{y_1^2}{4}+\bruch{y_2^2}{14}
[/mm]
das ist eine elipse
ich habe noch eine allgemeine frage. Was ist der Zweck der Hauptachsentranformation? besteht der zweck darin, dass man bei der transformierten gleichung erkennen kann, um was für eine Art von Kurve es sich handelt?
nächste Frage. ist in der aufgabe nicht gefragt, aber wie zeichne ich die tranformierte gleichung in ein koordinatensystem?
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Hallo,
> a) Führen Sie eine Hauptachsentransformation durch, um zu
> bestimmen, was für eine Kurve im [mm]R^2[/mm] durch die Gleichung
>
> [mm]6x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2=28[/mm]
>
> beschrieben wird. Geben Sie die Transformationsmatrix S,
> die transformierte Gleichung und die Art der Kurve explizit
> an.
>
> b) Welche Punkte x [mm]\in R^2[/mm] auf der Kurve haben minimalen
> Abstand zum Ursprung? Wie groß/klein ist dieser?
> Bitte alle nachfolgenden Fragen beantworten
>
> a) [mm]6x_1^2-4x_1x_2+3x_2^2=28[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 6 & -2 \\ -2 & 3 }[/mm]
>
> [mm]det(\lambda*E-A)=0=\lambda^2-9\lambda+14[/mm]
>
> [mm]\lambda_1=7[/mm]
> [mm]\lambda_2=2[/mm]
>
> [mm](\lambda_1*E-A)*V_1=0=\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 4 }*\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]x_1+2x_2=0[/mm]
>
> [mm]x_1=\alpha[/mm]
>
> erster Eigenvektor [mm]V_1=\alpha\vektor{1 \\ -\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm](\lambda_2*E-A)*V_2=0=\pmat{ -4 & 2 \\ 2 & -1 }*\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]0=-4x_1+2x_2[/mm]
>
> [mm]x_1=\beta[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow V_2=\beta\vektor{1 \\ 2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> hier kommt meine erste Frage: muss ich [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] so
> wählen, dass [mm]V_1[/mm] und [mm]V_2[/mm] orthogonal zu einander sind? das
> wäre in diesem fall bei [mm]\alpha=2[/mm] und [mm]\beta=1.[/mm] oder spielt
> das keine rolle, da ich die Eigenvektoren normieren muss?
Man wählt [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] so, dass beide Eigenvektoren Länge 1 haben.
>
> für [mm]\alpha=2[/mm] und [mm]\beta=1[/mm] folgt:
>
> [mm]V_1=\vektor{2 \\ -1}[/mm]
> [mm]V_2=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> Drehmatrix S:
>
> [mm]S=\bruch{1}{\wurzel{5}}\pmat{ 2 & 1 \\ -1 & 2 }[/mm]
>
> transformierte Gleichung:
>
> [mm]y^T*\pmat{ 7 & 0 \\ 0 & 2 }*y=7y_1^2+2y_2^2=28[/mm]
>
> [mm]1=\bruch{y_1^2}{4}+\bruch{y_2^2}{14}[/mm]
>
> das ist eine elipse
>
> ich habe noch eine allgemeine frage. Was ist der Zweck der
> Hauptachsentranformation? besteht der zweck darin, dass man
> bei der transformierten gleichung erkennen kann, um was
> für eine Art von Kurve es sich handelt?
Jo, die Art der Kurve kann man ja anhand der Ausgangsgleichung kaum bis gar nicht erkennen, wohingegen man diese Ellipsengleichung wohl kennen sollte 
>
> nächste Frage. ist in der aufgabe nicht gefragt, aber wie
> zeichne ich die tranformierte gleichung in ein
> koordinatensystem?
Na, so eine Ellipse in Hauptlage mit Gleichung
[mm]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/mm] hat ihren Mittelpunkt im Ursprung, ihre Hauptachse ist die x-Achse. a und b geben die Längen der Teilachsen an, a in x-Richtung, b in y-Richtung.
Schaue mal bei google oder wikipedia unter "Ellipse"
Gruß
schachuzipus
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hallo,
ich habe zu folgender Matrix eine frage:
[mm] A=\pmat{ 1 & -3 \\ 3 & 7 }
[/mm]
diese matrix hat den doppelten Eigenwert [mm] \lambda_{1/2}=4
[/mm]
wie bestimme zwei Eigenvektoren, wenn ich nur ein Eigenwert habe?
[mm] (A-\lambda*E)*V=0
[/mm]
[mm] \pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }*\vektor{x \\ y}=0
[/mm]
-3x-3y=0
[mm] x=\alpha
[/mm]
[mm] y=-\alpha
[/mm]
[mm] V_1=\alpha*\vektor{1\\ -1}
[/mm]
das wäre ein eigenvektor, aber für eine transformation brauche ich bei 2x2 matrizen 2 eigenvekoren. wie bestimme ich den zweiten eigenvektor?
ich könnte für [mm] \alpha [/mm] zwei verschiedene werte einsetzen, dann hätte ich zwei Eigenvektoren, aber dann wären diese nicht orthogonal zueinander und das müssen sie meines wissens nach sein
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Hallo,
> ich habe zu folgender Matrix eine frage:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & -3 \\ 3 & 7 }[/mm]
>
> diese matrix hat den doppelten Eigenwert [mm]\lambda_{1/2}=4[/mm]
stimmt.
>
> wie bestimme zwei Eigenvektoren, wenn ich nur ein Eigenwert
> habe?
>
> [mm](A-\lambda*E)*V=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -3 & -3 \\ 3 & 3 }*\vektor{x \\ y}=0[/mm]
>
> -3x-3y=0
>
> [mm]x=\alpha[/mm]
>
> [mm]y=-\alpha[/mm]
>
> [mm]V_1=\alpha*\vektor{1\\ -1}[/mm]
Alle Eigenvektoren der Matrix haben diese Gestalt, wobei [mm] \alpha\not=1.
[/mm]
[mm] V_1:=\alpha*\vektor{1\\-1} [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR [/mm] ist der Eigenraum zum Eigenwert [mm] \lambda=4, [/mm] anders geschrieben
[mm] V_1={\alpha*\vektor{1\\-1}| \alpha \in \IR \}-
[/mm]
Mit Ausnahe des Nullvektors ist jedes Element aus [mm] V_1 [/mm] ein Eigenvektor. Aber linear unabhängig sind die nicht.
Diese Matrix hat keine zwei linear unabhängigen Eigenvektoren.
Sie ist nicht (orthogonal) diagonalisierbar, es gibt nämlich keine Basis aus Eigenvektoren.
Woher kommt die Matrix denn, und was hast Du mit ihr vor?
LG Angela
>
> das wäre ein eigenvektor,
> aber für eine transformation
> brauche ich bei 2x2 matrizen 2 eigenvekoren. wie bestimme
> ich den zweiten eigenvektor?
>
> ich könnte für [mm]\alpha[/mm] zwei verschiedene werte einsetzen,
> dann hätte ich zwei Eigenvektoren, aber dann wären diese
> nicht orthogonal zueinander und das müssen sie meines
> wissens nach sein
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hallo,
> [mm] V_1=\alpha*\vektor{1\\ -1}
[/mm]
>
> Alle Eigenvektoren der Matrix haben diese Gestalt, wobei
> [mm]\alpha\not=1.[/mm]
wieso [mm] \alpha\not=1? [/mm] meinst du vielleicht [mm] \alpha\not=0?
[/mm]
kann ich mir den zweiten Eigenvektor nicht einfach so auswählen, dass er orthogonal zu [mm] V_1 [/mm] ist? in diesem Fall wäre es
[mm] V_2=\vektor{1\\ 1}
[/mm]
> Woher kommt die Matrix denn, und was hast Du mit ihr vor?
die matrix habe ich mir ausgedacht. ich stelle gleich eine aufgabe zur hauptachsentransformation wo die matrix eine doppelten eigenwert hat. diesmal ist dann die matrix nicht ausgedacht
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> hallo,
>
> > [mm]V_1=\alpha*\vektor{1\\ -1}[/mm]
> >
> > Alle Eigenvektoren der Matrix haben diese Gestalt, wobei
> > [mm]\alpha\not=1.[/mm]
>
> wieso [mm]\alpha\not=1?[/mm] meinst du vielleicht [mm]\alpha\not=0?[/mm]
Stimmt. Das meinte ich.
>
> kann ich mir den zweiten Eigenvektor nicht einfach so
> auswählen, dass er orthogonal zu [mm]V_1[/mm] ist? in diesem Fall
> wäre es
>
> [mm]V_2=\vektor{1\\ 1}[/mm]
Wenn Du Du diesen Vektor mit der Matrix multiplizierst, dann siehst Du, daß es kein Eigenvektor ist.
LG Angela
>
> > Woher kommt die Matrix denn, und was hast Du mit ihr vor?
>
>
> die matrix habe ich mir ausgedacht. ich stelle gleich eine
> aufgabe zur hauptachsentransformation wo die matrix eine
> doppelten eigenwert hat. diesmal ist dann die matrix nicht
> ausgedacht
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| Aufgabe | Was für eine Fläche wird durch
[mm] \bruch{8}{3}x_1^2+\bruch{10}{3}x_1x_2+\bruch{10}{3}x_1x_3+\bruch{8}{3}x_2^2+\bruch{10}{3}x_2x_3+\bruch{8}{3}x_3^2=6
[/mm]
im Raum [mm] \IR^3 [/mm] beschrieben? |
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{3}\pmat{ 8 & 5 & 5 \\ 5 & 8 & 5 \\ 5 & 5 & 8 }
[/mm]
[mm] det(\lambda*E-A)=0=\lambda^3-8\lambda^2+13\lambda-6
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=1
[/mm]
[mm] \lambda_3=6
[/mm]
zugehöriger EV für [mm] \lambda_1=1
[/mm]
[mm] (\lambda_1*E-A)*V_1=0
[/mm]
[mm] (\lambda_1*E-A)=\pmat{ -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3}& -\bruch{5}{3} \\ -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3} &-\bruch{5}{3} \\ -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3} }
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }*\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}=0
[/mm]
zwei variabeln sind frei wählbar. [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-1
[/mm]
[mm] V_1=\vektor{1 \\ -1\\ 0}
[/mm]
für [mm] lambda_3=6 [/mm] erhalte ich den Eigenvektor
[mm] V_3=\vektor{1 \\ 1\\ 1}
[/mm]
das müsst ihr nicht nachrechnen. das ist schon richtig. die frage ist wie bestimme ich einen weiteren Eigenvektor? ich brauch noch ein eigenvektor für den doppelten eigenwert [mm] \lambda=1
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 22.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Was für eine Fläche wird durch
>
> [mm]\bruch{8}{3}x_1^2+\bruch{10}{3}x_1x_2+\bruch{10}{3}x_1x_3+\bruch{8}{3}x_2^2+\bruch{10}{3}x_2x_3+\bruch{8}{3}x_3^2=6[/mm]
>
> im Raum [mm]\IR^3[/mm] beschrieben?
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{3}\pmat{ 8 & 5 & 5 \\ 5 & 8 & 5 \\ 5 & 5 & 8 }[/mm]
>
> [mm]det(\lambda*E-A)=0=\lambda^3-8\lambda^2+13\lambda-6[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=1[/mm]
>
> [mm]\lambda_3=6[/mm]
>
> zugehöriger EV für [mm]\lambda_1=1[/mm]
>
> [mm](\lambda_1*E-A)*V_1=0[/mm]
>
>
> [mm](\lambda_1*E-A)=\pmat{ -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3}& -\bruch{5}{3} \\ -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3} &-\bruch{5}{3} \\ -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3} & -\bruch{5}{3} }[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }*\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}=0[/mm]
>
> zwei variabeln sind frei wählbar. [mm]x_1=1[/mm] und [mm]x_2=-1[/mm]
>
> [mm]V_1=\vektor{1 \\ -1\\ 0}[/mm]
>
> für [mm]lambda_3=6[/mm] erhalte ich den Eigenvektor
>
> [mm]V_3=\vektor{1 \\ 1\\ 1}[/mm]
>
> das müsst ihr nicht nachrechnen. das ist schon richtig.
> die frage ist wie bestimme ich einen weiteren Eigenvektor?
> ich brauch noch ein eigenvektor für den doppelten
> eigenwert [mm]\lambda=1[/mm]
Na, wie wärs mit [mm]\vektor{1 \\ 0\\ -1}[/mm]?
Gruß RMix
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> Na, wie wärs mit [mm]\vektor{1 \\ 0\\ -1}[/mm]?
>
und wie kommst du darauf?
EDIT: achso da die variabeln frei wählbar sind, kann man einfach andere variabeln einen weiteren eigenvektor bestimmen oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mi 23.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
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> > Na, wie wärs mit [mm]\vektor{1 \\ 0\\ -1}[/mm]?
> >
>
> und wie kommst du darauf?
>
> EDIT: achso da die variabeln frei wählbar sind, kann man
> einfach andere variabeln einen weiteren eigenvektor
> bestimmen oder?
Ja, nur nicht linear abhängig von den vorhandenen.
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