Hauptideal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:50 Sa 12.02.2011 | | Autor: | m0ppel |
| Aufgabe | | Ist [mm](x,2)[/mm] Hauptideal in [mm]\IZ_{5}[x][/mm]? |
Ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und habe bei diesem Thema noch Probleme.
Hauptideal := [mm]alpha[/mm] ist Ideal und [mm]alpha[/mm] wird durch ein Element erzeugt.
Weiter weiß ich, dass 2 in [mm]\IZ_{5}[/mm] ein multiplikatives Inverse besitzt. Daher ist 2 Einheit in [mm]\IZ_{5}[/mm] und daher auch in [mm]\IZ_{5}[x][/mm]. Daher ist [mm](x,2) = \IZ_{5}[x][/mm].
Kann ich hieraus schon folgern, dass [mm](x,2)[/mm] ein Hauptideal ist?
Bei mir im Skript steht weiter, dass gilt [mm](x,2) = (1)[/mm] und daher Hauptideal.
Warum gilt [mm](x,2) = (1)[/mm] dies??
Danke schon mal für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:23 So 13.02.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ist [mm](x,2)[/mm] Hauptideal in [mm]\IZ_{5}[x][/mm]?
> Ich bereite mich gerade auf meine Klausur vor und habe bei
> diesem Thema noch Probleme.
>
> Hauptideal := [mm]alpha[/mm] ist Ideal und [mm]alpha[/mm] wird durch ein
> Element erzeugt.
> Weiter weiß ich, dass 2 in [mm]\IZ_{5}[/mm] ein multiplikatives
> Inverse besitzt. Daher ist 2 Einheit in [mm]\IZ_{5}[/mm] und daher
> auch in [mm]\IZ_{5}[x][/mm]. Daher ist [mm](x,2) = \IZ_{5}[x][/mm].
> Kann ich hieraus schon folgern, dass [mm](x,2)[/mm] ein Hauptideal
> ist?
Ja, denn [mm] $\IZ_{5}[X]$ [/mm] wird z.B. durch das Einselement erzeugt, [mm] $(1)=\IZ_{5}[X]$. [/mm] Damit hast du gezeigt, dass dein Ideal nur von einem Element erzeugt wird.
> Bei mir im Skript steht weiter, dass gilt [mm](x,2) = (1)[/mm] und
> daher Hauptideal.
> Warum gilt [mm](x,2) = (1)[/mm] dies??
Du hast es eigentlich oben schon gezeigt, indem du gezeigt hast, dass [mm] $(X,2)=\IZ_{5}[X]=(1)$
[/mm]
Das von einer Einheit erzeugte Ideal ist immer bereits der ganze Ring.
Vielleicht noch eine Möglichkeit, wie man noch direkter einsehen kann, dass [mm] $(X,2)\:$ [/mm] Hauptideal ist: es gilt $3X [mm] \in \IZ_5[X] \Rightarrow [/mm] 3X*2 = (3*2)X = X [mm] \in [/mm] (2) [mm] \Rightarrow [/mm] (X,2)=(2)$
LG Lippel
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