Hauptideal(ring) zeigen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten einen faktoriellen Ring R mit der Eigenschaft , dass jedes Primideal [mm] \mathcal{A} \subset [/mm] R, [mm] \mathcal{A} \not= [/mm] (0) maximal ist.
a) Seien [mm] a_1 ,\ldots, a_n \in [/mm] R. Ist [mm] (a_1,\ldots,a_n) [/mm] ein Hauptideal?
b) Ist R ein Hauptidealring? |
Huhu zusammen!
Also alles was ich weiß ist Folgendes:
R ist faktoriell, also gibt es für alle a [mm] \in [/mm] R \ R* [mm] \cup [/mm] {0} eine Darstellung
a = [mm] \produkt_{i=1}^{n} p_i [/mm] ,
wobei [mm] p_i [/mm] irreduzibel ist, d.h. wiederrum , dass p [mm] \not= [/mm] 0 , p [mm] \notin [/mm] R* , mit p = cd => c [mm] \in [/mm] R* oder d [mm] \in [/mm] R*
Primideale: Aus ab [mm] \in \mathcal{A} [/mm] folgt a [mm] \in \mathcal{A} [/mm] oder b [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
Hauptideale : (a) = [mm] \mathcal{A} [/mm] (wird nur von einem Element erzeugt)
Da ein faktorieller Ring glaube ich Integritätsring ist, ist auch (0) ein Primideal.
ist (a) = [mm] \mathcal{A} [/mm] maximal, so ist a Primelement.
Nun zur a)
Ich weiß aus einer anderen Aufgabe, dass für x,y [mm] \in [/mm] R gilt: (x,y) = (z), wobei z := ggT(x,y) .
Vielleicht ist das zu einfach aber kann ich nicht einfach sagen:
[mm] (a_1,a_2,\ldots,a_n)
[/mm]
= [mm] (ggT(a_1,a_2),a_3,\ldots,a_n) [/mm] Setze [mm] ggT(a_1,a_2) [/mm] = [mm] z_{1,2}
[/mm]
[mm] =(ggT(ggT(a_1,a_2),a_3),a_4,\ldots,a_n) [/mm] , sei [mm] ggT(ggT(a_1,a_2),a_3) [/mm] = [mm] z_{1,2,3}
[/mm]
=...
[mm] =(z_{1,\ldots,n}) [/mm] wobei [mm] z_{1,\ldots,n} [/mm] analog wie oben def ist. (wobei glaube aufgrund der assoziativität ist es auch schreibbar als [mm] ggt(a_1,\ldots,a_n)
[/mm]
Somit wäre gezeigt: [mm] (a_1,\ldots,a_n) [/mm] ist ein hauptideal bzw sind alle Ideale in einem faktoriellen Ring hauptideale?
Zu b)
Was bliebe mir nun hier noch nach a) falls die richtig ist zu zeigen? Das was ich oben gemacht habe kann ich ja eig immer machen
Liebe Grüße,
Eve
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Hallo,
Ja, die a) ist so richtig. Die frühere Aufgabe zeigt, dass zweifach erzeugte Ideale Hauptideale sind, und per Induktion folgt das dann für beliebige endlich erzeugte Ideale, so wie du das gemacht hast.
b) wir wissen jetzt, dass endlich erzeugte Ideale Hauptideale sind, damit R aber HIR ist, muss das für beliebige, möglicherweise unendlich erzeugte Ideale gelten. Findest du einen Ring mit den geforderten Eigenschaften mit einem unendlich erzeugten Ideal, das nicht endlich erzeugbar ist?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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> Hallo,
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> Ja, die a) ist so richtig. Die frühere Aufgabe zeigt, dass
> zweifach erzeugte Ideale Hauptideale sind, und per
> Induktion folgt das dann für beliebige endlich erzeugte
> Ideale, so wie du das gemacht hast.
>
> b) wir wissen jetzt, dass endlich erzeugte Ideale
> Hauptideale sind, damit R aber HIR ist, muss das für
> beliebige, möglicherweise unendlich erzeugte Ideale
> gelten. Findest du einen Ring mit den geforderten
> Eigenschaften mit einem unendlich erzeugten Ideal, das
> nicht endlich erzeugbar ist?
>
> Liebe Grüße,
> UniversellesObjekt
Hey!
Also ein I.R. ist ja genau dann faktoriell, wenn jedes irred. Element ein Primlement ist (ich glaube das ist ja hier gegeben) und R noethersch ist.
Wenn R noethersch ist gibt es für bel. Ketten von Hauptidealen eine Art maximales Ideal, wobei kein anderes Ideal größer ist, also eine Art Schranke.
Es reicht eigentlich aus, ein Ideal zu finden welches Hauptideal und Primideal ist, der Form von a), also endlicher Natur ist.
Dieses wäre dann maximal und Ideale die Teilmengen davon sind, könnte man ja dann auch endlich erzeugen.
Mein Hauptideal aus a) ist aber kein Primideal richtig?
Das wäre so meine Art es zeigen zu wollen, dass R Hauptidealring ist.
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Okay ich hab gemerkt meine Äquivalenz mit noethersch stimmt nicht ganz das gilt nur für jede HAUPTideal kette hmmm... Ich überleg mir noch was
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 17.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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