Hauptidealring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Sei [mm] $IZ(p):=\lbrace \frac{r}{s} \in \IQ [/mm] | p [mm] \not| [/mm] s , (r,s)=1 [mm] \rbrace$.
[/mm]
Zeige, dass [mm] $\IZ(p)$ [/mm] ein Hauptidealring ist. |
Also meines Wissens zeichnen sich Hauptidealringe dadurch aus, dass alle Ideale Hauptideale sind, d.h. von einem Element erzeugt werden.
Allerdings habe ich keine rechte Vorstellug, welche Elemente aus [mm] $\IZ(p)$ [/mm] Ideale erzeugen.
Kann jemand helfen?
Danke,
Ole
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 10.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
weißt du, dass euklidische ringe hauptidealringe sind?
[mm] $\mathbb{Z}_{(p)}$ [/mm] lässt sich nämlich sehr einfach zu einem euklidischen ring machen. überlege dir mal, welches die einheiten in [mm] $\mathbb{Z}_{(p)}$ [/mm] sind und welchen elementen in [mm] $\mathbb{Z}_{(p)}$ [/mm] man somit eine nicht triviale bewertung zukommen lassen sollte.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 Di 11.12.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Vielen Dank für die ultraschnelle Antwort erst mal.
Die Einheiten in [mm] $\IZ(p)$ [/mm] dürften wohl die Elemente [mm] $\frac{r}{s}$ [/mm] sein, mit $p [mm] \not| [/mm] r$, weil dann auch die Inversen in [mm] $\IZ(p)$ [/mm] sind, oder?
Meinst du, dass genau die Einheiten Ideale erzeugen ? Das würde bedeuten, dass [mm] die$\frac{r}{s} \in [/mm] E$ (E sei die Menge der Einheiten), die Ideale
[mm] $\lbrace \frac{r}{s},\frac{r^2}{s^2}...\rbrace [/mm] $ erzeugen würden. Die erzeugten Elemente wären dann aber auch wieder Einheiten, richtig?
Gruß,
Ole
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Di 11.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Die Einheiten in [mm]\IZ(p)[/mm] dürften wohl die Elemente
> [mm]\frac{r}{s}[/mm] sein, mit [mm]p \not| r[/mm], weil dann auch die
> Inversen in [mm]\IZ(p)[/mm] sind, oder?
genau.
> Meinst du, dass genau die Einheiten Ideale erzeugen ?
die einheiten erzeugen zwar ideale aber diese sind langweilig. denn sei $I [mm] \unlhd [/mm] R$ ein ideal und $u$ eine einheit mit $u [mm] \in [/mm] I$, dann ist $I = R$ (überlege dir das mal, das folgt aus der eigenschaft, dass multiplikation von idealelementen mit ringelementen wieder im ideal landet).
überlege dir lieber mal, ob die ideale $(p), [mm] (p^2), (p^3), [/mm] ...$ interessanter sind.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Do 13.12.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Ok, also du meinst die Ideale, die von [mm] $\frac{p}{s}$ [/mm] erzeugt werden, oder?
Das, dass Ideale sind, kann man schnell zeigen, aber ich muss doch zeigen, dass es keine anderen gibt, oder?
Ich weiß einfach nicht, wie ich daran gehen soll!!
Übrigens, noch eine weitere Fragestellung zu dieser Aufgabe.
Welches ist das maximale Ideal von [mm] $\IZ(p)$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 13.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Ok, also du meinst die Ideale, die von [mm]\frac{p}{s}[/mm] erzeugt
> werden, oder?
> Das, dass Ideale sind, kann man schnell zeigen, aber ich
> muss doch zeigen, dass es keine anderen gibt, oder?
jein. es gibt ja noch andere $p$-potenzen (also [mm] $p^2$, $p^3$ [/mm] und so weiter) und die erzeugen andere ideale. das $s$ im nenner kannst du auch beruhigt weglassen, da es sich dabei ja um eine einheit handelt. was ich dir damit eigentlich nur zeigen wollte: beim erzeuger eines ideals kommt es nur auf die darin vorkommende $p$-potenz an, da der rest sich durch multiplikation mit einheiten entfernen lässt und sowas ändert die ideale nicht.
aber zurück zur aufgabe: du willst zeigen, dass der ring ein euklidischer ring und damit ein hauptidealring ist. betrachte doch mal die funktion [mm] $\nu_p: \mathbb{Z}_{(p)} \longrightarrow \mathbb{N}_0; \; [/mm] x = [mm] \frac{a}{b}\longmapsto \max \{ \ell \in \mathbb{N}_0: p^\ell \, | \, a \}$, [/mm] also die maximale $p$-potenz die im zähler aufgeht. ist das vielleicht eine euklidische gradfunktion auf dem ring?
> Übrigens, noch eine weitere Fragestellung zu dieser
> Aufgabe.
>
> Welches ist das maximale Ideal von [mm]\IZ(p)[/mm]?
schau dir mal die von den von mir oben angegebene erzeugern erzeugten ideale an. wie sind die bezüglich inklusion geordnet?
grüße
andreas
|
|
|
|
