Hauptsatz Diff.Integralr. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sei [mm] f:[a,b]\to \IR [/mm] eine reellwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b], so ist für alle [mm] x_0 \in [/mm] [a,b] die Fkt. [mm] F:[a,b]\to\IR [/mm] mit [mm] F(x)=\integral_{x_0}^{x}{f(t) dt} [/mm] diffbar und eine Stammfkt. zu f, d.h. es gilt F'(x)=f(x) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Für die Brechung eines Integrals gilt dann: [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a).
[/mm]
Schulgemäßer Beweis:
z.z.: [mm] \limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)
[/mm]
Sei [mm] h=x-x_0 \gdw x=x_0+h. [/mm] Damit bekommen wir:
[mm] F'(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}=f(x_0), [/mm] da f stetig
ist und [mm] F(x_0)= \integral_{a}^{x_0}{f(t) dt}, F(x_0+h)=\integral_{a}^{x_0+h}{f(t) dt}
[/mm]
Hi,
Das soll ein Beweis sein, den man Schülern erklären kann. Aber leider versteh ich den selber nicht so gut.
> Sei [mm] h=x-x_0 \gdw x=x_0+h.
[/mm]
Also ich zeichne mir mal eine beliebige Funktion f. Dann fange ich an, mir auf der x-Achse zuerst einen Punkt a einzuzeichnen, dann den Punkt [mm] x_0 [/mm] und danach dann den Punkt [mm] x_0+h. [/mm] Diese Punkte verbinde ich dann jeweils mit einer Senkrechten mit der Funktion f.
> [mm] F'(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)
[/mm]
Wie kann ich anhand der Zeichung den Schülern klarmachen, was die Funktion F überhaupt ist? Kann man das?
Und wie kann ich dann zeigen, dass mit
> [mm] F(x_0)= \integral_{a}^{x_0}{f(t) dt}, F(x_0+h)=\integral_{a}^{x_0+h}{f(t) dt}
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h} [/mm] gilt und das gleich [mm] f(x_0) [/mm] ist??
Wäre echt nett, wenn mir jemand bei diesen Erklärungen helfen könnte.
Grüße
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> Sei [mm]f:[a,b]\to \IR[/mm] eine reellwertige stetige Funktion auf
> dem abgeschlossenen Intervall [a,b], so ist für alle [mm] x_0 \in [/mm] [a,b]
> die Fkt. [mm]F:[a,b]\to\IR[/mm] mit
> [mm]F(x)=\integral_{x_0}^{x}{f(t) dt}[/mm] diffbar und eine
> Stammfkt. zu f, d.h. es gilt F'(x)=f(x) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
>
>
> Für die Berechnung eines Integrals gilt dann:
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a).[/mm]
>
> Schulgemäßer Beweis:
>
> z.z.: [mm]\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=f(x_0)[/mm]
>
> Sei [mm]h=x-x_0 \gdw x=x_0+h.[/mm] Damit bekommen wir:
>
> [mm]F'(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}=f(x_0),[/mm]
> da f stetig
>
> ist und [mm]F(x_0)= \integral_{a}^{x_0}{f(t) dt},\qquad F(x_0+h)=\integral_{a}^{x_0+h}{f(t) dt}[/mm]
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> Hi,
>
> Das soll ein Beweis sein, den man Schülern erklären kann.
> Aber leider versteh ich den selber nicht so gut.
>
> > Sei [mm]h=x-x_0 \gdw x=x_0+h.[/mm]
>
> Also ich zeichne mir mal eine beliebige Funktion f. Dann
> fange ich an, mir auf der x-Achse zuerst einen Punkt a
> einzuzeichnen, dann den Punkt [mm]x_0[/mm] und danach dann den Punkt
> [mm]x_0+h.[/mm] Diese Punkte verbinde ich dann jeweils mit einer
> Senkrechten mit der Funktion f.
>
> > [mm]F'(x_0)=\limes_{x\rightarrow x_0} \bruch{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)[/mm]
>
> Wie kann ich anhand der Zeichung den Schülern klarmachen,
> was die Funktion F überhaupt ist? Kann man das?
>
>
> Und wie kann ich dann zeigen, dass mit
>
> > [mm]F(x_0)= \integral_{a}^{x_0}{f(t) dt},\qquad F(x_0+h)=\integral_{a}^{x_0+h}{f(t) dt}[/mm]
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> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}[/mm] gilt
> und das gleich [mm]f(x_0)[/mm] ist??
>
> Wäre echt nett, wenn mir jemand bei diesen Erklärungen
> helfen könnte.
>
> Grüße
>
Hallo jaruleking,
so absolut geheuer ist mir bei dem Beweis auch nicht, weil
nach meiner Ansicht die Funktion F in zwei verschiedenen
Bedeutungen vorkommt, nämlich einerseits:
[mm]F(x)=\integral_{x_0}^{x}{f(t) dt}[/mm]
andererseits aber auch:
$\ F(x)= [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}$
[/mm]
(verschiedene Untergrenzen !)
Für eine Einführung des Hauptsatzes in einer Klasse ist dies
natürlich ungeeignet. Man sollte sich auf eine Definition
(mit einer festen Untergrenze) beschränken. In einem weiteren
Schritt kann man dann noch zeigen, dass die Wahl der Unter-
grenze ziemlich unerheblich ist, weil der Wechsel der Unter-
grenze (bei einer stetigen Integrandenfunktion) für den Wert
des Integrals nur die Addition einer Konstanten bedeutet, die
beim Ableiten ohnehin herausfällt.
Die Bedeutung der Funktion F mit
$\ F(x)= [mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}$
[/mm]
kann man natürlich sehr anschaulich erklären: [mm] F(x_0) [/mm] steht für
den Flächeninhalt zwischen x-Achse, Funktionsgraph und den
vertikalen Geraden x=a und [mm] x=x_0 [/mm] . (für eine Einführung
nimmt man natürlich eine Funktion f mit positiven Werten
im gesamten Definitionsbereich)
In dem Beweis fehlt natürlich noch der ungefähr wichtigste
Teil:
Es ist $\ [mm] F(x_0 +h)-F(x_0)\ [/mm] =\ [mm] \integral_{a}^{x_0+h}{f(t)\ dt}\ [/mm] -\ [mm] \integral_{a}^{x_0}{f(t)\ dt}\ [/mm] =\ [mm] \integral_{x_0}^{x_0+h}{f(t)\ dt}$ [/mm]
Letzteres Integral entspricht dem Flächeninhalt eines
schmalen Streifens der Breite h, welcher zwischen der
x-Achse und dem Graph liegt.
Sein Flächeninhalt entspricht (nach dem Mittelwertsatz)
dem eines Rechtecks der Breite h und einer Höhe H*=f(x*),
wobei x* ein geeigneter zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h [/mm] liegender
Wert ist.
Mit diesen Überlegungen kommt man dann zu:
[mm] $\frac{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}\ [/mm] =\ [mm] \frac{h*H^{\*}}{h}\ [/mm] =\ [mm] H^{\*}$ [/mm] = f(x*)
Schließlich kommt nun ganz zentral noch die Voraussetzung
der Stetigkeit der Funktion f zum Zug: wenn h gegen Null
und damit x gegen [mm] x_0 [/mm] strebt, wird der Streifen beliebig dünn,
der zwischen [mm] x_0 [/mm] und x liegende (aber nicht konkret bekannte)
Wert x* muss ebenfalls gegen [mm] x_0 [/mm] streben und damit (wegen
der Stetigkeit von f an der Stelle [mm] x_0) [/mm] der Wert [mm] H^{\*} [/mm] = f(x*)
gegen [mm] f(x_0) [/mm] .
LG Al-Chw.
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Hi Al. Chw.
Danke für die Erläuterung.
Also ich habe deine Vorgehensweise gut verstanden, nur eine Stelle bereitet mir noch Probleme, und zwar der Grenzwert für h gegen 0.
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)
[/mm]
Ich finde es schwierig aus dieser Grenzwertbetrachtung [mm] f(x_0) [/mm] herauszulesen, denn wenn h gegen 0 geht, dann haben wir ja quasi
[mm] \bruch{F(x_o +o)-F(x_0)}{0} [/mm] und das kann doch nicht [mm] f(x_0), [/mm] da man doch gar nicht durch 0 teilen darf...
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Hallo,
> Danke für die Erläuterung.
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> Also ich habe deine Vorgehensweise gut verstanden, nur eine
> Stelle bereitet mir noch Probleme, und zwar der Grenzwert
> für h gegen 0.
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> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)[/mm]
>
> Ich finde es schwierig aus dieser Grenzwertbetrachtung
> [mm]f(x_0)[/mm] herauszulesen, denn wenn h gegen 0 geht, dann haben
> wir ja quasi
>
> [mm]\bruch{F(x_o +o)-F(x_0)}{0}[/mm] und das kann doch nicht [mm]f(x_0),[/mm]
> da man doch gar nicht durch 0 teilen darf...
???
Aber all das hat Al-Chwarizmi doch in seinem Post erklärt!
Die Sache ist eben, dass du Grenzwert nicht ohne weiteres bilden kannst, sondern dass du erst schreibst:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{F(x_0 +h)-F(x_0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\left(\int_{a}^{x_{0}+h}f(t) dt\right)-\left(\int_{a}^{x_{0}}f(t) dt\right)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(t) dt}{h}$
[/mm]
Nun muss man einen weiteren Satz anwenden, den Mittelwertsatz der Integralrechnung, der uns garantiert, dass es ein [mm] \xi_h\in[x_0,x_0+h] [/mm] gibt mit
[mm] $\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(t) [/mm] dt = [mm] ((x_{0}+h)-(x_0))*f(\xi_{h}) [/mm] = [mm] h*f(\xi_{h})$
[/mm]
Das ist sehr gut zu veranschaulichen, muss also nicht erst bewiesen werden!
Dann kannst du schreiben:
[mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\int_{x_{0}}^{x_{0}+h}f(t) dt}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{h*f(\xi_{h})}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0}f(\xi_{h})$
[/mm]
Nun ist [mm] $\xi_{h}\in[x_0,x_0+h]$, [/mm] für [mm] h\to [/mm] 0 folgt also [mm] \xi_{h} \to x_{0}. [/mm] Mit der Stetigkeit folgt dann:
[mm] $\lim_{h\to 0}f(\xi_{h}) [/mm] = [mm] f(\lim_{h\to 0} \xi_{h}) [/mm] = [mm] f(x_{0})$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Mi 23.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
danke euch.
grüße
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Hi Stefan,
danke für die präzise Ausformulierung !
Gruß Al
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