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Forum "Integration" - Hauptsatz der Integralrechnung
Hauptsatz der Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hauptsatz der Integralrechnung: Warum formt sich das so um?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:08 So 03.07.2011
Autor: bandchef

Aufgabe
Führen sie weiter aus:

$f'(x) = [mm] \frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \sqrt{cos(t)}dt \right) [/mm]




Weiter ausgeführt:

.$.. = [mm] \frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} g(t) dt \right) [/mm] $ = $ [mm] \frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) [/mm] $ = g(x) = $ [mm] \sqrt{cos(x)} [/mm] $
Könnt ihr mir erklären, warum man nach [mm] $\frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) [/mm] = ...$ einfach $... = g(x)$ schreiben darf (insbesondere warum dann doch aufeinmal das x auftaucht und nicht das t bleibt), obwohl man ja eigentlich die integrierte Funktion nicht gekannt hat?

        
Bezug
Hauptsatz der Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:56 So 03.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Führen sie weiter aus:
>  
> f'(x) = [mm]\frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \sqrt{cos(t)}dt \right)[/mm]
>  

> Weiter ausgeführt:
>  
> .[mm].. = \frac{d}{dx}\left( \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} g(t) dt \right)[/mm]
> = [mm]\frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right)[/mm]
> = g(x) = [mm]\sqrt{cos(x)}[/mm]
>  Könnt ihr mir erklären, warum man nach [mm]\frac{d}{dx} \left( G(x) - G\left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) = ...[/mm]
> einfach [mm]... = g(x)[/mm] schreiben darf (insbesondere warum dann
> doch aufeinmal das x auftaucht und nicht das t bleibt),
> obwohl man ja eigentlich die integrierte Funktion nicht
> gekannt hat?


Hallo bandchef,

zuerst einmal ist es einerlei, mit welchem Symbol man
die Integrationsvariable im Inneren des Integrals bezeichnet.
Anstatt

    [mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(t)\,dt$ [/mm]

kann man ebensogut

    [mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(z)\,dz$ [/mm]   oder     [mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(\alpha)\,d\alpha$ [/mm]

schreiben, auch      [mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(x)\,dx$ [/mm]
wäre nicht falsch, könnte aber zu Missverständnissen
Anlass geben. Es ist sinnvoll, für die Integrationsvariable
ein Symbol zu wählen, welches nicht auch in den
Integrationsgrenzen auftritt. Hat die Integrandenfunktion g
eine Stammfunktion G, so ist

    [mm] $\integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x}g(t)\,dt\ [/mm] =\ G(t)\ [mm] \left|_{_{-\frac{\pi}{2}}}^{^{x}}\ =\ G(x)-G(-\frac{\pi}{2})$ Das x kommt also einfach durch diese Ersetzung der Integrationsvariablen durch die eigentliche Obergrenze x zustande. Da wird nichts "gezaubert". Als nächstes soll man das Ergebnis G(x)-G(-\frac{\pi}{2}) ableiten, und zwar nach der Variablen x. Weil G eine Stamm- funktion von g sein soll (die existiert auch für t\in [-\frac{\pi}{2} ,+\frac{\pi}{2}], weil g über diesem Intervall definiert und stetig ist), ist das Ergebnis dann $\ G'(x)-0=G'(x)=g(x)=\sqrt{cos(x)}$ Wäre die Aufgabe gewesen, [/mm]  [mm]\frac{d}{d\,\red{\boldsymbol{t}}}\left(\ \integral_{-\frac{\pi}{2}}^{x} \sqrt{cos(t)}\ dt\ \right)[/mm]

zu berechnen, wäre das Ergebnis eine blanke Null !


LG    Al-Chw.








Bezug
                
Bezug
Hauptsatz der Integralrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:01 So 03.07.2011
Autor: bandchef

Das war das worum ich nicht weitergekommen bin:

Zitat: "Als nächstes soll man das Ergebnis $ [mm] G(x)-G(-\frac{\pi}{2}) [/mm] $
ableiten, und zwar nach der Variablen x."

Ich hab irgendwie ausgeblendet, dass das [mm] $G(-\frac{\pi}{2})$ [/mm] ja nicht von der Variable x abhängt und somit beim Differenzieren als Konstante behandelt wird!

Danke!

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