Hauptträgheitsachsen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Ein Körper, z.B. ein Quader hat ja 3 Hauptträgheitsachsen. Warum verläuft die Rotation nur um die größte und kleinste Trägheitsachse stabil und um die mittlere Trägheitsachse labil?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Do 19.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo kroete
Die Antwort erfordert schon ganz schön mitdenken,drum weiss sie vielleicht nichtmal dein Lehrer.
1. den Versuch kennst du hoffentlich nimm ein Buch, mach nen Gummi rum, damit es nicht beim Werfen aufgeht. Wirf es mit ner Drehung um die laengste Achse hoch, um die kürzeste und um die mittlere. bei der mittleren fängt es immer an zu :taumeln.
Jetzt zum Beweis: [mm] I_3
Energie [mm] :$2*W=I_1*w_1^2+I_2*w_2^2+I_3*w_3^2$
[/mm]
Quadrat des Drehimpulses [mm] $D^2=I_1^2*w_1^2+I_2^2*w_2^2+I_3^2*w_3^2$
[/mm]
es gilt der Erhaltungssatz der Energie und des Drehimpulses, also bleibt auch [mm] D^2-I_1*2E [/mm] erhalten.
[mm] $D^2-I_1*2E=w_2^2(I_2^2-I_1*I_2)+w_3^2*(I_3^2-I_1*I_3)$
[/mm]
das ist 0 für [mm] w_3=w_2=0 [/mm] also Drehung um die Hauptachse.
beide Klammern sind negativ, weil [mm] I_1>i_2,I_3. [/mm] also ist der Ausdruck immer [mm] \le [/mm] 0
Wenn sich die Konstante [mm] D^2-I_1*2E [/mm] durch äussere Einwirkung etwas ändert, ist sie also klein negativ, da beide Klammern dasselbe Vorzeichen haben, muss [mm] w_2^2 [/mm] und [mm] w_3^2 [/mm] klein bleiben!
Dasselbe passiert bei :
[mm] $D^2-I_3*2E=(w_1^2*(I_1^2-I_1*I_3)+w_^2(*I_2^2-I_3*I_2))$
[/mm]
nur jetzt sind beide Klammern positiv, der Ausdruck also [mm] \ge0
[/mm]
wenn sich der Ausdruck etwas ändert muss wieder [mm] w_1^2 [/mm] und [mm] w_2^2 [/mm] klein bleiben.
Anders [mm] bei$D^2-I_2*2E=w_^1(I_1^2-I_1*I_2)+w_3^2*(I_3^2-I_1*I_3)$
[/mm]
jetz ist die erste Klammer positiv, die zweite negativ!
d.h. schon wenn der Ausdruck 0 ist d.h. für Drehung nur um [mm] I_2-Achse [/mm] gibt es Lösungen mit demselben Erhaltungssatz, in denen [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] nicht 0 ist. d.h. Energie und drehimpuls bleiben erhalten, wenn sich [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] ändern! d.h. es hat keinen Grund stabil zu sein, währtend die 2 anderen sich nur ändern können wenn sich an Energie und -oder- drehimpuls was ändert.
Ich find das für die Schule reichlich schwer, aber vielleicht kapierst dus ja ungefähr! wenn du Fragen dazu hast schreib sie.
Gruss leduart
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